2.1 曲线与方程 学案

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2.1 曲线与方程
一、曲线与方程的概念
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的______________；
（2）以这个方程的______________为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做______________；这条曲线叫做______________．
二、坐标法
借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的______________，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．这就是坐标法．
数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；
（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质．
三、求曲线方程的一般步骤
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合；
（3）用坐标表示条件______________，列出方程；
（4）化方程为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．
四、求曲线方程的长用方法
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
一、解 解 曲线的方程 方程的曲线 二、集合或轨迹 三、p(M)
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点
【解析】（1）设，，则．
由得．因为在C上，所以．
因此点P的轨迹方程为．
（2）由题意知．设，
则，．
由得，又由（1）知，故．
所以，即．
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F．

（1）判断过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系；
（2）判断命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”是否正确；
（3）求方程(x－y)＝0所表示的曲线．
【解析】（1）过点(2，1)且平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系只具备定义中的条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|＝2不是直线l的方程，直线l只是方程|x|＝1所表示图形的一部分．
（2）不正确．
设(x0，y0)是方程的解，则，即．
两边同开平方取算术平方根，得，即点(x0，y0)到原点的距离等于1，
点(x0，y0)是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
但是，易知以坐标原点为圆心，半径为1的圆上一点(0，－1)，却不是的解，
所以命题“以坐标原点为圆心，半径为1的圆的方程是”不正确．
（3）根据题意可得或，即或，
故原方程表示的是射线和直线．
（1）已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，过原点O作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程；
（2）已知在中，|BC|＝6，求直角顶点A的轨迹方程．
【解析】（1）方法1(直接法)：如图，连接CQ，

因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°．
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[(x－2)2＋y2]＝4，
所以中点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)．
方法2(定义法)：如图所示，连接CQ，

因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则点Q在以OC为直径的圆上，
故点Q的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)．
方法3(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意，得，即，
又(x1－2)2＋y12＝4，所以(2x－2)2＋4y2＝4，即(x－1)2＋y2＝1(去掉原点)．
（2）以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有B(－3，0)，C(3，0)，设顶点A(x，y)．
由是直角三角形可知|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝62，化简得x2＋y2＝9．
依题意可知，．
故所求直角顶点A的轨迹方程为x2＋y2＝9()．
课时同步训练
1．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
2．方程表示的曲线是图中的

3．平面上有三点，若，则动点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
4．已知log2x，log2y，2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹大致为

5．方程(x+y-1)=0所表示的曲线是

6．已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是
A．x+2y+3=0 B．x-2y-5=0
C．x-2y-7=0 D．x-2y+7=0
7．在等腰中，，已知点，，则点的轨迹方程为______________．
8．已知双曲线的一支C:y=和直线l:y=kx，若l与C有两个不同的交点A，B，则线段AB的中点的轨.

9．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且．求点的轨迹方程．





10．方程表示的曲线是
A．一条直线 B．两条直线
C．一个圆 D．两个半圆
11．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形面积为
A． B．
C． D．
12．曲线与的交点坐标是
A．(2，1) B．(±2，1)
C．(2，1)或(，5) D．(±2，1)或(，5)
13．已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足，则点P的轨迹方程为______________．
14．已知直线，为上的动点，为坐标原点，点分线段为两部分，则点的轨迹方程为______________．
15．如图所示，已知，两点分别在轴和轴上运动，点为延长线上一点，并且满足，，试求动点的轨迹方程．





16．已知坐标平面上一点与两个定点，，且．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．








17．【2014年高考全国Ⅰ卷】已知点P(2，2)，圆C：，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及的面积．



1．【答案】A
【解析】设点的坐标为，则，
整理得．故选A．
2．【答案】D
【解析】分，；，；，；，四种情形去绝对值号，即可作出判断，其图形为条线段围成的图形，故选D．
3．【答案】A
【解析】∵，，
∵，∴，∴，即．故选A．
4．【答案】A
【解析】由log2x，log2y，2成等差数列，可得，
即，所以(x＞0，y＞0)，故选A．
5．【答案】D
【解析】原方程等价于或x2+y2-4=0，其中当x+y-1=0时，方程所表示的曲线是在直线x+y-1=0上且在圆x2+y2=4外的所有点．故选D．
6．【答案】D
【解析】设P(x0，y0)，则x0-2y0+3=0　(*)．又设Q(x，y)，由|PM|=|MQ|，知点M是线段PQ的中点，
则，即　(**)．将(**)代入(*)，得(-2-x)-2(4-y)+3=0，即x-2y+7=0．故选D．
7．【答案】（除去点和）
【解析】设点的坐标为，因为，所以，整理得．因为三点不共线，所以要除去与确定的直线的交点，．故点的轨迹方程为（除去点和）．
8．【答案】(x-)2-y2=(x>2)
【解析】设AB的中点为M(x0，y0)，联立，得(k2-1)y2+2ky-2k2=0，则y0=，x0=，消去k得-=x0，因为，所以2，所以AB的中点的轨迹方程是(x-)2-y2=(x>2)．
9．【答案】．
【解析】设，，则，，
又，∴，，解得，，
∴，，∴，
∵与关于轴对称，∴，∴．
由，可得．故点的轨迹方程为．
10．【答案】D
【解析】由题意，得，即或，方程两边平方整理得，当时，是以为圆心，以为半径的右半圆；当时，是以为圆心，以为半径的左半圆．
综上，方程表示的曲线是以为圆心，以为半径的右半圆与以为圆心，以为半径的左半圆合起来的图形，故选D．
11．【答案】B
【解析】设，由可得，整理得，即．所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，故点的轨迹所包围的图形的面．故选B．
12．【答案】B
【解析】将代入，得，即，解得或，由于不符合题意，应舍去，所以，则，解得．故曲线与的交点坐标是(±2，1)，故选B．
13．【答案】x2＋y2＝16
【解析】设P(x，y)，则，于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．
14．【答案】
【解析】设点的坐标为，点的坐标为．∵分线段为，∴，
即，∴，即，∵点在直线上，
∴．把，代入上式并化简，得．故点的轨迹方程为．
15．【答案】．
【解析】设，，，则，，
由，得，即，，∴，．
又，∴，．
由，得，∴，得，
故动点的轨迹方程为．
16．【答案】（1），轨迹是以为圆心，以为半径的圆；（2）或．
【解析】（1）由，得，化简得，
所以点的轨迹方程是，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段的长为，
所以符合题意．
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
圆心到的距离，由题意，得，解得．
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
17．【答案】（1）；（2）直线l的方程为，的面积为．
【解析】（1）圆C的方程可化为，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则，．
由题设知，故，即．
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是．
（2）由（1）可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为，故直线l的方程为．
又|OM|＝|OP|＝，点O到直线l的距离为，|PM|＝，所以的面积为．





















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