25.2.3列举所有机会均等的结果导学案
课题
列举所有机会均等的结果
单元
25
学科
数学
年级
九年级
知识目标
1.用列举法（列表法）求简单随机事件的概率，进一步培养随机概念．
2.用画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策.
重点难点
重点：运用列表法和画树形图法求事件的概率.
难点：运用画树形图法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题.
教学过程
知识链接
什么是概率？ ，就叫这个事件的概率。
计算概率关键要注意两点：
一是要清楚我们所关注的是哪个或哪些结果（m）；
二是要清楚所有机会均等的结果(n)。
概率的计算方法：P= .
合作探究
一、教材136页
例4 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
分析：对于第一次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2、3次抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等.由此，我们可以画出树状图
/
抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：
。
P（正正正）＝P（正正反）＝ 。
思考：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结果：
(1)全是正面 (2)两正一反
(3)两反一正 (4)全是反面
因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？
。
问题5
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次摸球就可能出现三种结果：
(1)都是红球；(2)都是白球；(3)一红一白.
这三个事件发生的概率相等吗？
一位同学画出如图所示的树状图
/
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.他的分析有道理吗？为什么？
。
画树状图如下：
/
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这个事件中，“摸出_____”概率最小，等于___，“摸出一红一白”和“摸出_____”的概率相等，都是____.
总结一下画树状图的步骤
； ；
； 。
三、教材137页试一试
问题6
投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？
我们用表来列举所有可能得到的点数之积.
/
表中每个单元里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为 的概率最大，其概率等于 。
所以当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便
问题7
“石头”、“剪刀”、“布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负.
/
假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？
画树状图：
所有机会均等的结果有 种，其中的3种——(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我们关注的结果，所以
??
(同种手势)
=
想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
；
。
自主尝试
1.现有六条线段，长度分别为1，3，5，7，9，10，从中任取三条，能构成三角形的概率是________.
2.一副扑克牌抽出大小王后，只剩下红桃、黑桃、方块、梅花四种花色52张，则任取一张是红桃的概率是________;
3.在一个不透明的袋子里放入除颜色外完全相同的2个红球和2个黄球,摇匀后摸出一个记下颜色,放回后摇匀,再摸出一个,则两次摸出的球均是红球的概率为( )/
A. B. C. D.
4.随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是( )
A. B. C. D.1
【方法宝典】
用树状图进行解答
当堂检测
1、十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为_______________
2、从装有5个红球和3个白球的袋中任意取4个，那么取道的“至少有1个是红球”与“没有红球”的概率分别为 和 ；
3、有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有”20”,”08”和”北京”的字块,如果婴儿能够排成”2008北京”或者”北京2008”,则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( )
A．/ B．/ C./ D./
4、下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想/好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。
其中，你认为正确的见解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
/
5、学校门口经常有小贩搞摸奖活动．某小贩在一只黑色的口袋里装有只有颜色不同的50/只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球．搅拌均匀后，每2元摸1个球．奖品的情况标注在球上（如下图）
（1）如果花2元摸1个球，那么摸不到奖的概率是多少？（4分）
（2）如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是多少？（5分）
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
会用树状图和列表法求概率
参考答案：
当堂检测：
1、 2、1,0 3、C 4、A
5、(1)∵白球的个数为50－1－2－10=37
∴摸不到奖的概率是：/
（2）获得10元的奖品只有一种可能即同时摸出两个黄球
∴获得10元奖品的概率是：/=/
/
华师大版数学九年级上25.2.3列举所有机会均等的结果教学设计
课题
列举所有机会均等的结果
单元
25
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.用列举法（列表法）求简单随机事件的概率，进一步培养随机概念．? 2.用画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策.
过程与方法目标
经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率，渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力.
情感态度与价值观目标
通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯.
重点
运用列表法和画树形图法求事件的概率.
难点
运用画树形图法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？
/
试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
学生思考问题
引发学生思考，激发学生的学习兴趣
讲授新课
师：想一想 “同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
/
生：我发现一样
师：随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
课件展示：
例4 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
师：对于第一次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2、3次抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等.由此，我们可以画出树状图
/
生：抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：
正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反
P（正正正）＝P（正正反）＝
1
8
所以，这一说法正确.
师：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结果：
(1)全是正面 (2)两正一反
(3)两反一正 (4)全是反面
因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？
生：不同意.因为由树状图可知在8种等可能结果中，全是正面的只有一种，两正一反的有3种，两反一正的有3种，全是反面的只有1种
课件展示：
问题5
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次摸球就可能出现三种结果：
(1)都是红球；(2)都是白球；(3)一红一白.
这三个事件发生的概率相等吗？
师：一位同学画出如图所示的树状图
/
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.他的分析有道理吗？为什么？
师：摸出红球与摸出白球的概率相等吗？
课件展示：
/
师：从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这个事件中，“摸出_____”概率最小，等于___，“摸出一红一白”和“摸出_____”的概率相等，都是____
生：两红，
1
9
；两白，
4
9
师：总结一下画树状图的步骤吧
生：（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
课件展示：
问题6
投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？
师：我们用表来列举所有可能得到的点数之积.
/
师：表中每个单元里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为 的概率最大，其概率等于 。
生：6和12的概率最大，概率等于
1
9
师：所以当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！
课件展示：
问题7
“石头”、“剪刀”、“布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负.
/
师：假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？
生：如图，画出树状图
/
生：所有机会均等的结果有9种，其中的3种——(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)是我们关注的结果，所以
??
(同种手势)
=
3
9
=
1
3
师：试一试，请用列表法分析问题7，看看所得结论是否一致.
师：想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？
生：当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法
生：当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图
学生思考，出现的可能性，验证了随机事件同时和先后的关系
师生共同列树状图解答，列举出可能出现的情况
学生解答，教师解释.
学生试着自己画树状图解答
师生共同总结画树状图的步骤.
师生共同用列表法解答此题,并归纳出列表格解答的优点.
学生画树状图，解答此题，老师订正.
比较两种方法的优缺点，选择合适的方法.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生独立思考，自己解决问题的能力
培养学生动手的能力.
培养学生总结归纳的能力.
让学生发现问题，然后解决问题，增加学生的成就感.
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
培养学生思考，解决问题的能力.
课堂练习
1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（ ）
A.
4
9
B.
1
3
C.
1
2
D.
1
9
答案：C
2.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ）
A.
1
4
B.
1
2
C.
1
8
D.
1
16
答案：D
3.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有 种不同的放法.
答案：10
4.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则n= .
答案：8
5.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.
答案：
/
共有27种行驶方向
(1)
??
(全部继续直行)
=
1
27
（2）P（两车向右，一车向左）=
1
9
；
（3） P（至少两车向左）=
1
27
拓展提升
在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.
/
答案：
解：根据题意，画出树状图如下
/
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=
3
9
=
1
3
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于10)=
4
9
中考链接
【昆明中考】为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动.现从A，B，C三支获胜足球队中，随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流.
(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示出抽到的两支球队的所有可能结果；
(2)求出抽到B队和C队参加交流活动的概率.
答案：
解：(1)列表如下：
/
由表可知共有6种等可能的结果
(2)由表可知共有6种等可能结果，其中抽到B队和C队参加交流活动的有2种结果，所以抽到B队和C队参加交流活动的概率为
2
6
=
1
3
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
/
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1、树状图的步骤
①关键要弄清楚每一步有几种结果；
②在树状图下面对应写着所有可能的结果；
③利用概率公式进行计算
2、树状图用法
是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.
3、树状图注意
①弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；
②在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.
/
课件32张PPT。25.2.3列举所有机会均等的结果华师大版 九年级上 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？我们一起来做游戏情境导入试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；想一想 “同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？开始第一掷第二掷（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）发现：一样.新知讲解 随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.归纳总结新知讲解分析：对于第一次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2、3次抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等.由此，我们可以画出树状图第1次正反正反正反第2次第3次正反正反正反正反例4 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？ 例题解析解：抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果： 正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反 ?所以，这一说法正确. 例题解析新知讲解思考有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结果：(1)全是正面 (2)两正一反
(3)两反一正 (4)全是反面因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？答：不同意.因为由树状图可知在8种等可能结果中，全是正面的只有一种，两正一反的有3种，两反一正的有3种，全是反面的只有1种问题5口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次摸球就可能出现三种结果：
(1)都是红球；(2)都是白球；(3)一红一白.
这三个事件发生的概率相等吗？新知讲解一位同学画出如图所示的树状图从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大.他的分析有道理吗？为什么？思考第1次摸出球第2次摸出球红白红白红白摸出红球与摸出白球的概率相等吗？新知讲解开始红白1白2红白1白2红白1白2红白1白2第一次第二次从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出
现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这个事件中，
“摸出_____”概率最小，等于___，“摸出一红一白”和“摸出_____”的概率相等，
都是____两红两白??新知讲解（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.画树状图求概率的基本步骤新知讲解 投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少的概率最大，其概率是多少？问题6我们用表来列举所有可能得到的点数之积.新知讲解表中每个单元里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为 的概率最大，其概率等于 。6和12? 当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！ 新知讲解问题7“石头”、“剪刀”、“布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负.假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少？分析：如图，画出树状图新知讲解甲乙石头石头剪刀布剪刀石头剪刀布布石头剪刀布结果(石头，石头)(石头，剪刀)(石头，布)(剪刀，石头)(剪刀，剪刀)(剪刀，布)(布，石头)(布，剪刀)(布，布)?例题解析试一试请用列表法分析问题7，看看所得结论是否一致.新知讲解乙甲结果想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树形图”方便？ 当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法 当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图新知讲解课堂练习?DC3.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有 种不同的放法.4.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则n= .108当堂练习5.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.第一辆左右左右左直右第二辆第三辆直直左右直左右直左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右共有27种行驶方向???在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.6-27拓展提高??解：根据题意，画出树状图如下1.（昆明中考）为了促进“足球进校园”活动的开展，某市举行了中学生足球比赛活动.现从A，B，C三支获胜足球队中，随机抽取两支球队分别到两所边远地区学校进行交流.
(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示出抽到的两支球队的所有可能结果；
(2)求出抽到B队和C队参加交流活动的概率.中考链接解：(1)列表如下：由表可知共有6种等可能的结果?中考链接课堂总结树状图步骤用法是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.注意弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；③利用概率公式进行计算.①关键要弄清楚每一步有几种结果；②在树状图下面对应写着所有可能
的结果；②在摸球试验一定要弄清“放回”还
是“不放回”.1、树状图的步骤板书设计①关键要弄清楚每一步有几种结果；
②在树状图下面对应写着所有可能的结果；
③利用概率公式进行计算2、树状图用法是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.3、树状图注意弄清试验涉及试验因素个数或试验步骤分几步；②在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.作业布置如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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