人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第01章计数原理 章末检测

第一章 计数原理
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．乘积可表示为
A． B．
C． D．
2．满足方程的x的值为
A．3,5 B．1,3
C．1,3,5 D．1,3,5,-7
3．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为
A．15 B．14
C．13 D．12
4．(x2－)5的展开式中的常数项为
A．80 B．－80
C．40 D．－40
5．，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为
A． B．
C． D．
6．已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是
A．56　　 　 B．160
C．80　　 　 D．180
7．如图所示,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有
A．180种????? B．120种
C．96种 D．60种?
8．有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数为
A．12 B．24
C．144 D．288
9．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有
A．40个 B．120个
C．360个 D．720个
10．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
A．150种　 B．180种　
C．200种　　 D．280种
11．已知等差数列的第6项是展开式中的常数项，则
A．160 B．
C．350 D．
12．已知 ，若，那么自然数
A．3 B．4
C．5 D．6
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．已知，那么__________．
14．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有________种不同的选法.
15．若的展开式中含项的系数为2，则的值为__________．
16．安排5名歌手的演出顺序时，要求甲歌手不第一个出场，另一名歌手乙不最后一个出场，则不同的排法种数是__________．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解不等式.
18．现有5名男生、2名女生站成一排照相.
（1）两女生要在两端，有多少种不同的站法？
（2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（3）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
19．已知展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.
（1）求含有x3的项.
（2）求二项式系数最大的项.
20．4个编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中.
（1）①恰好有一个空盒子,有多少种放法?
②若把4个不同小球换成4个相同小球,恰好有一个空盒子,有多少种放法?
（2）每个盒子放1个球,并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?
21．在(－)n的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求含x2的项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
22．已知集合A={x|1(1)从A∪B中取出3个不同元素组成三位数,求不同三位数的个数;
(2)从集合A中取出1个元素,从集合B中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?
参考答案
1．【答案】A
【解析】最大数为，则共有个自然数连续相乘，根据排列公式可得.故选A.
2．【答案】B
【解析】∵方程，或(，解①得或（不合题意，舍去），解②得或（不合题意，舍去）.则该方程的解是1，3．故选B．
5．【答案】B
【解析】，，三个人站成一排照相，总的基本事件为种，不站在两头，即站中间，则有种情况，则不站在两头的概率为.故选B．
6．【答案】B
【解析】由条件知(1＋2)n=729，∴n=6，∴展开式的通项为Tr＋1=C(2x)r=2rCxr，令r=3，得23C=160.即展开式中x3项的系数是160.故选B.
7．【答案】A?
【解析】按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选；
第2步,B区域有4种颜色可选；
第3步,C区域有3种颜色可选；
第4步,D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理,可知共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
8．【答案】D
【解析】第1步,把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有种排法；
第2步,对男、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有种，男生“内部”的排法有种.
故符合题意的排法共有··=288种.
11．【答案】D
【解析】展开式中的常数项是由3个x和3个相乘得到的，
所以常数项为·（﹣2）3=﹣160，则a6=﹣160，a2+a10=2a6=﹣320，故选D．
12．【答案】B
【解析】令，得，即，
；
令，得，
，，
，解得.故选B．
13．【答案】8
【解析】， 即 解得.
14．【答案】20
【解析】记“会英语和日语”的人为“多面手”，
第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋12＝20(种)选法．
15．【答案】1或
【解析】的展开式中含项的系数为，即，∴，得或.
16．【答案】78
【解析】当甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，有种排法；
当甲不在第一个和最后一个时，甲有3种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列即可，有种排法，
故共有54+24=78种排法.
18．【解析】（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排，有种站法.
（2）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生，有种站法.
（3）采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的种站法，再去掉女生乙在右端的种站法，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种站法排除了两次，要找回来一次，则有种站法.
19．【解析】（1）由已知得，即，
所以n2－n－90＝0，解得n＝－9(舍)或n＝10，
由通项公式得.
令，得r＝6，
所以含有x3的项是.
（2）易知展开式共有11项，所以二项式系数最大的项是第6项，
所以.
20．【解析】（1）①方法一：4个小球不同,4个盒子也不同,是排列问题,恰好有一个空盒子的放法可分两步完成.
第一步,先将4个小球中的2个“捆”在一起,有种方法;
第二步,把“捆”在一起的球与其他2个球分别放入4个盒子中的3个盒子里,有种方法.
所以共有=144(种)放法.
方法二：因为有一个盒子是空的,所以先将这4个小球分为三份,有种方法,再将这三份小球放入4个盒子中的3个盒子里,有种放法,所以共有·=144(种)放法.
②这里的小球是相同的,只是盒子不同,是组合问题,可分两步完成.
第一步,先从4个盒子中选出3个盒子有种方法;
第二步,从3个盒子中选出1个盒子放2个小球有种方法.
所以共有·=12(种)放法.
（2）分两步完成.
第一步,从4个不同的小球中选1个小球,使它的编号与盒子编号相同有种方法;
第二步,另外3个小球与盒子编号均不同,只有2种方法.
所以共有·2=8(种)放法.
21．【解析】Tr＋1=C·()n－r·(－)r=C·()n－r·(－·)r=(－)r·C·.
（1）∵第6项为常数项，∴r=5时有=0，
∴n=10.
（2）令=2，得r=2，
∴所求的系数为C(－)2=.
（3）根据通项公式，由题意得：
令=k(k∈Z)，则10－2r=3k(k∈Z)，即r==5－k(k∈Z).
∵0≤r≤10，∴0≤5－k≤10，k∈Z，
∴－3≤k≤3，k∈Z，
又∵k应为偶数，∴k可取2，0，－2，
∴r=2,5,8，
∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，C·(－)8·x－2，即x2，－和.