人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第02章 章末检测

第二章 随机变量及其分布
章末检测
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是
A．5 B．9
C．10 D．25
2．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有2次获得通过的概率是
A． B．
C． D．
3．已知随机变量服从正态分布，若，则
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
4．已知随机变量的分布列为，＝1，2，…，则
A． B．
C． D．
5．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为
A． B．
C． D．
6．设X～B(n，p)，且E(X)＝12，D(X)＝4，则n与p的值分别为
A．18， B．12，
C．18， D．12，
7．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
8．已知P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，则P(B|A)＝
A． B．
C． D．
9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3)，则
A． B．
C． D．
10．随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝，则D(X)＝
X
1
2
3
P
0.5
x
y
A． B．
C． D．
11．某次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数区间为
A．(90，110] B．(95，125]
C．(100，120] D．(105，115]
12．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望
A． B．
C． D．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
13．离散型随机变量ξ的分布列如下表，则常数c的值为________________．
ξ
0
1
P
9c2－c
3－8c
14．某次考试成绩X～N(a，52)，随机抽查了10位同学的成绩，其平均值为72.5，标准差为5.3，则a的估计值为________________．
15．随机变量只能取1，2，3，且，则________________．
16．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求：
（1）甲坑不需要补种的概率；
（2）3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率．

18．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
（1）在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
（2）从2号箱取出红球的概率是多少？

19．某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖，奖品为价值元的礼品，标号之和为11或10，则获二等奖，奖品为价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．
（1）求各会员获奖的概率；
（2）设商店抽奖环节收益为元，求的分布列．

20．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．

21．如图，甲向如图①所示的平面区域内随机掷点、乙向如图②所示的平面区域内随机掷点，假设点落在区域内任意一点的可能性相同．已知图①中小圆的半径是大圆半径的二分之一，图②中小正方形的顶点为大正方形各边的中点．
（1）甲、乙各掷点一次，求至少有一人掷点落在阴影区域的概率；
（2）甲、乙各掷点两次，记点落在阴影区域的次数为，求的分布列和数学期望．
图① 图②

22．据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展．下面是50天内甲、乙两家快递公司的“快递员”的每天送货单数统计表：
送货单数
30
40
50
60
天数
甲
10
10
20
10
乙
5
15
25
5
已知这两家快递公司的“快递员”的日工资方案分别为：甲公司规定底薪元，每单抽成元；乙公司规定底薪元，每日前单无抽成，超过单的部分每单抽成元．
（1）分别求甲、乙快递公司的“快递员”的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
①记甲快递公司的“快递员”的日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；
②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

参考答案
1．【答案】B
【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种．故选B．
2．【答案】D
【解析】根据独立重复试验的概率公式可得所求概率．故选D．
5．【答案】B
【解析】每枚硬币正面朝上的概率为，正面朝上的次数X～B，
故所求概率．故选B．
6．【答案】C
【解析】由得则p＝，n＝18．故选C．
7．【答案】D
【解析】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12．
所以至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88．故选D．
8．【答案】B
【解析】由条件概率的定义知：P(B|A)＝．故选B．
9．【答案】B
【解析】根据分布列的性质，知m＋m＋m＝1，所以m＝．故选B．
10．【答案】D
【解析】由题意得解得
所以．故选D．
11．【答案】C
【解析】由于X～N(110，52)，所以μ＝110，σ＝5．因此考试成绩在区间(105，115]，(100，120]，(95，125]上的概率分别应是0.6826，0.9544，0.9974.由于一共有60人参加考试，所以成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，60×0.9974≈60人．故选C．
13．【答案】
【解析】由离散型随机变量分布列的性质，知9c2－c+3－8c=1且0≤9c2－c≤1，0≤3－8c≤1，解得c=．
14．【答案】72.5
【解析】某次考试成绩X～N(a，52)，a即为正态分布的数学期望，而随机抽查了10位同学的成绩其平均值为72.5，用此样本平均值来估计a的值，故a＝72.5．
15．【答案】
【解析】设，则，
则．
16．【答案】0.98
【解析】方法1：甲闹钟没准时响的概率为0.2，乙闹钟没准时响的概率为0.1，两闹钟同时没准时响的概率为0.2×0.1＝0.02，故所求概率为1－0.02＝0.98．
方法2：两个闹钟至少有一个准时响有三种情况：甲准时响而乙没准时响，其概率为0.80×(1－0.90)＝0.08；乙准时响而甲没准时响，其概率是(1－0.80)×0.90＝0.18；甲、乙都准时响，其概率为0.80×0.90＝0.72，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为0.08＋0.18＋0.72＝0.98．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－)3＝，
所以甲坑不需要补种的概率为1－＝．
（2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）标号之和为12的概率为；
标号之和为11或10的概率为，
所以各会员获奖的概率为．
（2）随机变量的所有可能取值为，，30，
故的分布列为
30
20．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，，，
则由题可得，，，
解得，，，
又，所以，故该校报考飞行员的总人数为．
（2）由（1）可得，报考学生体重超过60公斤的概率为，
由题意知服从二项分布～，所以随机变量的分布列为
所以．
21．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】（1）图①中阴影区域的面积为整个区域面积的，故甲向该平面区域内随机掷点，点落在阴影部分的概率为，图②中阴影部分的面积为整个区域面积的，故乙向该平面区域内随机掷点，点落在阴影部分的概率为．
记“甲掷点一次，点落在阴影区域”为事件，“乙掷点一次，点落在阴影区域”为事件，
则事件“甲、乙各掷点一次，二人至少有一人掷点落在阴影区域”的对立事件为．
所以至少有一人掷点落在阴影区域的概率为．
（2）由题可知．；
；
；
；
．
所以的分布列为
所以．
22．【答案】（1），；
（2）①分布列见解析，，②见解析．
【解析】（1）甲快递公司的“快递员”的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为
；
乙快递公司的“快递员”的日工资（单位：元）与送货单数的函数关系式为
．
（2）①由题中表格易知的所有可能取值为，
则；；
；．
所以的分布列为
90
100
110
120
故（元）．
②乙快递公司的“快递员”这50天的工资和为：
（元），
所以乙快递公司的“快递员”的日平均工资为（元），
由①知，甲快递公司的“快递员”的日平均工资为元．
当，即时，小赵应选择甲快递公司；
当，即时，小赵选择甲、乙快递公司一样．
当，即时，小赵应选择乙快递公司．