人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题1.3 二项式定理

1.3 二项式定理
知识
一、二项式定理
1．二项式定理
，
这个公式叫做二项式定理（binomial theorem），等号右边的多项式叫做的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数叫做二项式系数（binomial coefficient）.
【注】二项式定理是一个恒等式，这里的a,b既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.如果设a=1，b=x，则得到公式： .
2．二项展开式的通项
二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项： .
通项的应用：利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意指定的项（或系数），如常数项、有理项等.
【注】二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：
（1）它有n＋1项；
（2）各项的次数(即a与b的指数的和)都等于二项式的次数n；
（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
二、“杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角
当n依次取1,2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数可以表示成如下形式：
(a＋b)1………………………………1 1
(a＋b)2……………………………1 2 1
(a＋b)3…………………………1 3 3 1
(a＋b)4………………………1 4 6 4 1
(a＋b)5……………………1 5 10 10 5 1
(a＋b)6…………………1 6 15 20 15 6 1
… …
上表称为“杨辉三角”.
从上面的表示形式可以直观地看出“杨辉三角”的特点：
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 ；
（2）在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.
（2）增减性与最大值
当时，二项式系数是逐渐增大的；当时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.
（3）各二项式系数的和
已知.令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为 .
（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.
知识参考答案：
一、1．
2．
二、1．相等
2．
重点
重点
利用二项式的通项公式求特定项的系数等
难点
二项式定理与二项式系数的性质的综合
易错
混淆二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数致误，不能正确区分项数与项的次数致误
1．利用通项公式求展开式中的特定项
（1）求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr=Can－r＋1br－1；
②求含xr的项(或xpyq的项)；
③求常数项；
④求有理项．
（2）求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
【例1】在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式的第四项；
（2）求展开式的常数项.
【解析】二项式的通项为，
由前三项系数的绝对值成等差数列，得,
解这个方程得n＝8或n＝1(舍去).
（1）展开式的第4项为：
（2）当,即r＝4时,常数项为.
【例2】二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.
求：（1）n.
（2）展开式中的所有的有理项.
2．二项式定理的正用与逆用
（1）运用二项式定理展开二项式，要记准展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷；
（2）逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数.
【例3】（1）求(3＋)4的展开式；
（2）化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
【解析】（1）解法一：(3＋)4=C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·()2＋C(3)·()3＋C·()4
=81x2＋108x＋54＋＋.
解法二：(3＋)4=
=(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
=81x2＋108x＋54＋＋.
（2）原式=C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1
=[(x－1)＋1]5－1
=x5－1.
【思路点拨】（1）可直接用二项式定理展开，也可以通分后再用二项式定理展开．
（2）解答本题可先分析结构形式，然后逆用二项式定理求解．
【名师点睛】（1）展开二项式可按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
（2）对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
（3）对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
3．二项式系数与项的系数问题
二项式系数是指，，…，，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如的展开式中，第r＋1项的二项式系数是，而该项的系数是.当然，某些特殊的二项展开式如，各项的系数与二项式系数是相等的．
【例4】已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求的值；
（2）求展开式中所有二项式系数的和；
（3）求展开式中所有的有理项．
【解析】二项式展开式的通项公式为.
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得，即，解得n=5；
（2）展开式中所有二项式系数的和为.
（3）二项式展开式的通项公式为.
当r=0，2，4时，对应项是有理项，
所以展开式中所有的有理项为，，
.
【技巧点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．利用二项展开式的通项时注意下列问题：
（1）是第k＋1项，而不是第k项．
（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．
（3）通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个元素，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”.
【例5】已知二项式.
（1）若,展开式中含项的系数为960,求的值;
（2）若展开式中各项系数和为,且,求展开式的所有二项式系数之和.
【解析】（1）的展开式的通项为,
令,得，
解得.
4．二项展开式的系数的性质
【例6】（系数最大问题）已知 的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大
（1）求的值；
（2）求展开式中系数的最大的项.
【解析】（1）因为第六项和第七项的二项式系数最大，所以且最大，所以.
（2）设展开式中系数最大的项为第项，
易知，
令，则，则，
因为，所以或.
当时，；
当时，，
故展开式中系数最大的项有两项，即第八项和第九项.
【名师点睛】注意展开式中某一项、某一项的二项式系数、某一项的系数三者的区别．
【例7】（求和问题）已知(1－2x)7=a0＋a1x＋a2x2＋···＋a7x7.求：
（1）a1＋a2＋···＋a7；
（2）a1＋a3＋a5＋a7；
（3）a0＋a2＋a4＋a6；
（4）|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a7|.
【解析】令x=1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7=－1，①
令x=－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7=37.②
（1）∵a0=C=1，
∴a1＋a2＋a3＋···＋a7=－2.
（2）由(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7==－1 094.
（3）由(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6==1 093.
（4）方法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a7|
=(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
=1 093＋1 094=2 187.
方法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋···＋|a7|=37=2 187.
【技巧点拨】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
5．与杨辉三角有关的问题
（1）杨辉三角的作用
①直观地看出或探究二项式系数的性质；
②当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．
（2）杨辉三角问题解决的一般方法
观察—分析；实验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察，如表所示：
【例8】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值.
【解析】由图知，数列的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第18项是C，第19项是C，
∴S19=C＋C＋C＋C＋···＋C＋C＋C
=(C＋C＋C＋···＋C)＋(C＋C＋C＋···＋C)
=(2＋3＋4＋···＋10)＋(C＋C＋···＋C)
=＋C
=54＋
=274.
【名师点睛】观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
6．整除问题
利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.
【例9】求证：5151－1能被7整除.
【解析】因为
.
所以可以看出，展开式中除251－1外，其余各项都能被7整除.
而
，
因其各项均可被7整除，故251－1可被7整除.
所以5151－1能被7整除.
7．混淆二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数致误
【例10】已知(3x＋1)6展开式中各项系数的和为m，且n=log2m，求(－)n展开式中二项式系数最大的项的系数.
【错解】由二项式系数的性质及条件可得m=26，
∴n=log2m=6，
∴(－)6展开式中共有7项，中间一项的二项式系数最大，
∴所求项为第四项．
【错因分析】错解有两处错误，一是m应为各项系数的和而不是各项二项式系数的和；二是求二项式系数最大的项的系数，而不是求二项式系数最大的项是第几项．
【答案】59136
【易错警示】一个二项展开式的第项的二项式系数是，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n有关的个组合数，与的取值无关，且是正数；而第项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.
基础训练
1．的二项展开式中的一项是
A．45 B．
C． D．
2．在(－)6的二项展开式中，x2的系数为
A．－ B．
C．－ D．
3．二项式(x－1)n的所有奇数项的二项式系数和是64，则n等于
A．5 B．6
C．7 D．8
4．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝
A．0 B．1
C．11 D．12
5．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是
A．28 B．
C．70 D．
6．若(＋x)8的展开式中x4的系数为7，则实数a=__________.
7．在二项式的展开式中,第3项为,则__________.
8．在的展开式中，二项式系数最大的项为__________.
9．若,则__________.
10．化简.
11．对二项式(1－x)10.
（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（2）求展开式中各二项式系数之和；
（3）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
12．已知是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含项的系数为84.
（1）求的值；
（2）求的展开式中有理项的系数和.
能力提升
13．展开式中的系数为
A．92 B．576
C．192 D．384
14．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a=
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
15．若二项式的展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为
A． B．
C． D．2
16．记=,则的值为
A．1 B．2
C．129 D．2188
17．设,则的展开式中常数项是
A．-160 B．160
C．-20 D．20
18．若(2x＋)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．
19．已知(展开式中第4项与第2项系数比为15：1，求展开式中的倒数第3项.
20．若展开式中前三项系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.
真题练习
21．（2018新课标全国Ⅲ）的展开式中的系数为
A．10 B．20
C．40 D．80
22．（2019四川模拟）设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
A．－15x4 B．15x4
C．－20i x4 D．20i x4
23．（2019新课标全国Ⅰ）展开式中的系数为
A．15 B．20
C．30 D．35
24．（2019北京）的展开式中的系数为
A． B．
C．40 D．80
25．（2019浙江）二项式的展开式的常数项是___________．
26．（2019天津模拟）在的展开式中，的系数为 .
27．（2019浙江模拟）已知多项式，则=________，=________．
28．（2019山东模拟）已知的展开式中含有项的系数是，则 .
29．（2019湖南模拟）的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）
参考答案
1
2
3
4
5
13
14
C
C
C
D
A
B
D
15
16
17
21
22
23
24
B
C
A
C
A
C
C
1．【答案】C
【解析】由通项公式可知，当时，有.
2．【答案】C
【解析】∵Tr＋1=C()6－r·(－)r=C(－1)r22r－6x3－r(r=0，1，2，…，6)，
令3－r=2得r=1.∴x2的系数为C(－1)1·2－4=－，故选C．
3．【答案】C
【解析】二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
∴2n?1=64，∴n=7.故选C．
5．【答案】A
【解析】的展开式中只有第5项的二项式系数最大，故n为偶数，展开式共有9项，故．
即，它的展开式的通项公式为，
令，求得，则展开式中的常数项是，故选A.
6．【答案】
【解析】由题意得Tr＋1=C·xr()8－r=C··a8－r.令=4，∴r=5，则x4的系数为Ca3=7，解之得a=.
7．【答案】
【解析】由题可得,该二项展开式的通项公式为.因为第3项为,所以,解得.
8．【答案】
【解析】由n=6，知展开式的第4项的二项式系数最大，
易得.
10．【解析】原式 .
11．【解析】（1）由题意可知，展开式共11项，中间项为第6项，且T6=C(－x)5=－252x5.
（2）C＋C＋C＋···＋C=210=1024.
（3）设(1－x)10=a0＋a1x＋a2x2＋···＋a10x10，
令x=1，得a0＋a1＋a2＋···＋a10=0，
令x=0，得a0=1，
∴a1＋a2＋···＋a10=－1.
12．【解析】（1）由题意可知，解得．
故二项式展开式的通项为，
令得含项的系数为，
由题意得，
又，∴．
（2）由（1）得展开式的通项为，
∴展开式中的有理项分别为，，
，
∴的展开式中有理项的系数和为0．
14．【答案】D
【解析】(1＋x)5展开式的通项为Tr＋1=Cxr，令r=1,2得，T2=Cx，T3=Cx2，因此题中表达式的展开式中含x2的项的系数为C＋aC=5，解之得a=－1.
15．【答案】B
【解析】令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．
∴=（）n，=2n，
∴+=（）n+2n≥+2=，故选B．
16．【答案】C
【解析】,
令x=0可得,
的展开式的通项,则,
所以
17．【答案】A
【解析】因为,
所以的通项公式为.
令,解得.
所以常数项为.故选A．
18．【答案】1
【解析】对于(2x＋)4=a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x=1得(2＋)4=a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x=－1得(－2)4=a0－a1＋a2－a3＋a4，
两式相乘得1=(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2，
故答案为1.
19．【解析】二项展开式的通项为，
由，得，解得，
所以倒数第3项为.
20．【解析】由题意得，展开式通项为：Tr＋1=C·()n－r·()r.
由已知条件知：C＋C·=2C·，解得n=8（n=1舍去）.
记第r项的系数为Tr，设第k项系数最大，则有Tk≥Tk＋1且Tk≥Tk－1.
又Tr=C·2－r＋1，
于是有：，即，
∴，解得3≤k≤4.
∴展开式中系数最大的项为第3项T3=7·和第4项T4=7·.
21．【答案】C
【解析】由题可得，令,则，所以.故选C.
22．【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A．
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.
24．【答案】C
【解析】，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
故选C．
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
26．【答案】
【解析】结合二项式定理的通项公式有：，
令可得：，则的系数为：.
27．【答案】16，4
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，取，可得．
【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题． 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．
28．【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，令，得，解得．
【名师点睛】根据二项展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
29．【答案】
【解析】的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.