人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.1 离散型随机变量及其分布列

第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
知识
1．随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的__________表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为__________．
注意：（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3．离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，，…，，…，，取每一个值的概率__________，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4．离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；
（2）__________．
注意：分布列的性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
5．两点分布
若随机变量的分布列具有下表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率．
__________
注意：（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1；（2）两点分布又称0—1分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
6．超几何分布
一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则__________，，即
其中，且，，．
如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布．
注意：为的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中的次品件数，即当时，此时(抽取的样本中的次品件数)的最大值；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即时，此时的最大值．
知识参考答案：
1．数字 2．离散型随机变量 3． 4． 5． 6．
重点
重点
离散型随机变量的概念、分布列的性质、两点分布、超几何分布
难点
超几何分布的应用、离散型随机变量分布列的求解
易错
对离散型随机变量的取值及概率、分布列的性质、超几何分布理解不透彻
重点 随机变量的理解
（1）分析随机变量的取值所表示的事件时，应先分清事件的结果是什么，如何与随机变量的取值对应的．
（2）随机变量的取值实质上是试验的不同结果对应的数值，这些数值是预先知道的可能取值，但不知道究竟是哪一个值，这是“随机”的意义．
一个不透明的箱子中装有标号分别为的五个大小和形状完全相同的红球，现从中任取一个，这是一个随机现象．
（1）写出该随机现象所有可能出现的结果；
（2）试用随机变量来描述上述结果．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【名师点睛】引进随机变量后，随机现象中所有可能出现的结果都可以通过随机变量的取值表达出来．需要注意的是本题中取到“标号为4的红球”对应的结果有两个，但对应的是随机变量的一个值，不能误认为随机变量有5个值：1，2，3，4，4．
重点 求离散型随机变量的分布列
（1）同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的点数之差的绝对值的分布列；
（2）袋中装有编号分别为1，2，3，4，5，6的同样大小的6个白球，现从袋中随机取3个球，设表示取出的3个球中的最小号码，求的分布列．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）易知掷两枚质地均匀的骰子朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，的可能取值为0，1，2，3，4，5，如下表：
的值
出现的点数
情况数
0
(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
6
1
(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)
10
2
(1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，6)，(3，1)，(4，2)，(5，3)，(6，4)
8
3
(1，4)，(2，5)，(3，6)，(4，1)，(5，2)，(6，3)
6
4
(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)
4
5
(1，6)，(6，1)
2
由古典概型可知的分布列为
0
1
2
3
4
5
（2）根据题意，随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．
①，最小号码为1，其他2个球在2，3，4，5，6中任取，所以；
②，最小号码为2，其他2个球在3，4，5，6中任取，所以；
③，最小号码为3，其他2个球在4，5，6中任取，所以；
④，最小号码为4，其他2个球只能取编号为5，6的2个球，所以．
所以，随机变量的分布列为
1
2
3
4
【名师点睛】（1）由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和；（2）求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取值所对应的概率，应明确随机变量取每个值所表示的意义．
重点 离散型随机变量分布列性质的应用
分布列的应用主要体现在分布列的性质上的应用，离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：
（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根据性质判断所求的分布列是否正确．
（1）设随机变量的分布列为，，求常数及；
（2）已知是离散型随机变量，其分布列如下，求的值及．
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）随机变量的分布列为
由，解得．
故．
（或：）
（2）由，解得(负值舍去)，
故．
重点 两点分布的应用
在两点分布中，只有两个对立的结果，知道一个结果的概率便可以求出另一个结果的概率．
（1）不透明的袋中装有大小、形状完全相同的5个白球和4个红球，从中随机摸出两个球，记，求随机变量的分布列；
（2）已知一批200件的待出厂产品中有1件次品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】由题意知，服从两点分布，，，
所以随机变量的分布列为
0
1
（2）由题意知，服从两点分布，，，
所以随机变量的分布列为
0
1
难点 超几何分布的应用
生产方提供的某批产品共50箱，其中有2箱不合格品，采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格品，便接收该批产品．问该批产品被接收的概率是多少？
【答案】该批产品被接收的概率为．
【思路分析】将50箱产品看作50件“产品”，2箱不合格品看作2件“次品”，任取5箱中不合格品的箱数可以看作是任取5件“产品”中所含的次品数，根据公式可求概率．
【解析】从中随机抽取5箱，用表示“5箱中不合格品的箱数”，
则服从参数为，，的超几何分布．
该批产品被接收的条件是5箱中没有不合格品或只有1箱不合格品，
所以被接收的概率为，
故，
所以该批产品被接收的概率为．（或）
【名师点睛】解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则直接利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．
难点 求相关变量的分布列
若随机变量的分布列不易求，可以根据题意找出与随机变量有关的随机变量，确定二者对应值及取对应值的概率的关系，将求随机变量的分布列转化为求随机变量的分布列．
已知随机变量的分布列如下表所示，分别求出随机变量，的分布列．
【答案】见解析．
【解析】由题易得的可能取值为，，，，，，
且，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
由题易得的可能取值为，，，，
且，
，
，
，
所以的分布列为
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．若表示经销一件该商品的利润，求的分布列．
【答案】见解析．
【解析】由题易得的可能取值为200，250，300，则，
，
，
所以的分布列为
【名师点睛】求随机变量分布列的重要基础是计算概率．就本题而言，是两个关联变量的分布列问题，可以看到解决问题的关键是利用互斥事件的概率计算公式．
易错 未找准随机变量的取值而致错
现有10张奖券，其中8张2元的，2张5元的，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
【错解】记所得金额为元，则的可能取值为6，12，
且，，
所以的分布列为
6
12
【错因分析】产生错解的原因是没能找准随机变量的可能取值，事实上任取3张的结果有3种：3张2元，2张2元、1张5元，1张2元、2张5元，可得的可能取值有3个，分别为6，9，12．
【正解】记所得金额为元，则的可能取值为6，9，12，
且，，，
所以的分布列为
6
9
12
易错 错解随机变量的取值概率而致错
从4名男生和2名女生中任意选择3人参加比赛，设被选中的女生的人数为．
（1）求的分布列；
（2）求所选女生的人数至多为1的概率．
【错解】（1）由题设可得的可能取值为0，1，2，
且，，，
所以的分布列为
0
1
2
（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为，
其概率为．
【错因分析】产生错解的原因是对随机变量的取值概率求解错误，事实上随机变量服从参数为，，的超几何分布．
【正解】（1）由题设可得的可能取值为0，1，2，
且，，，
所以的分布列为
0
1
2
（2）所选女生的人数至多为1即随机变量的取值为，其概率为．
易错 未掌握离散型随机变量分布列的性质而致错
已知是一个离散型随机变量，其分布列如下，则常数________________．
1
2
【错解】由离散型随机变量分布列的性质可得，
解得或，故填或．
【错因分析】错解中仅注意到随机变量的分布列满足概率和为，但忽略了．
【正解】由离散型随机变量分布列的性质可得，
解得，故填．
易错 未弄清随机变量取值概率的实质而致错
已知随机变量的分布列如下，求随机变量的分布列．
【错解】由可得的可能取值为，，，，，所以的分布列为
【错因分析】错解中误认为的取值概率变为原来的，没有弄清随机变量取值概率的实质．
【正解】由可得的可能取值为，，，，，相应的概率不变，
所以的分布列为
易错 对超几何分布的概念理解不透彻而致错
盒中装有12个零件，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的分布列．
【错解】由题意可知，服从超几何分布，其中，，，
所以在取得正品之前已取出次品数的分布列为，
所以已取出次品数的分布列为
0
1
2
3
【错因分析】错解中未理解超几何分布的概念．本题是不放回抽样，“”表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，“”表示“前两次都取到次品，第三次取到正品”，属于排列问题．而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题．
【正解】由题易得的可能取值为0，1，2，3．
，，，，
所以已取出次品数的分布列为
0
1
2
3
【名师点睛】求随机变量的分布列的关键是熟练掌握排列、组合知识，求出随机变量每个取值的概率，注意概率的取值范围（非负），在由概率之和为1求参数问题中要把求出的参数代回分布列进行检验．
基础训练
1．下列随机变量中是离散型随机变量的为
A．某人早晨在车站等出租车的时间
B．以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的射击次数
D．沿数轴随机运动的质点在数轴上的位置
2．设随机变量的分布列为，则的值为
A． B．
C． D．
3．设随机变量等可能取值为，如果，则的值为
A． B．
C． D．不能确定
4．设离散型随机变量X的概率分布列如下表所示，则
X
1
2
3
4
P
p
A． B．
C． D．
5．某地区15个村庄中有7个村庄交通不便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不便的村庄数，下列概率中等于的是
A． B．
C． D．
6．设随机变量的分布列为，则________________．
7．设随机变量ξ只能取5，6，7，…，14这10个值，且取每一个值的概率相等，则P(ξ≥10)＝________________，P(6<ξ≤14)＝________________．
8．若随机变量的分布列如下表，则的最小值为________________．
9．一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3，4，5，6，7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．
10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
（2）他能及格的概率．

能力提升
11．随机变量的分布列为，，其中为常数，则＝
A． B．
C． D．
12．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为
A． B．
C． D．
13．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则
A． B．
C． D．
14．某班从6名班干部中（其中男生4人，女生2人），任选3人参加学校的义务劳动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率．

15．为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如下表所示：
班级
宏志班
珍珠班
英才班
精英班
参赛人数
20
15
15
10
（1）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；
（2）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为，求随机变量的分布列．

16．某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘（转盘为十二等分的圆盘）一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A区域中一等奖，奖10元，落在B、C区域中二等奖，奖5元，落在其他区域不中奖．一位顾客一次购物消费268元．
（1）求该顾客中一等奖的概率；
（2）记为该顾客所得的奖金数，求其分布列．

真题练习
17．（2018新课标全国Ⅲ理节选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列．
18．（2019山东模拟）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求的分布列；
（2）若要求，确定的最小值．

参考答案
1．【答案】C
【解析】选项A、B、D中的随机变量可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故选C．
2．【答案】D
【解析】根据以及分布列的概率和为1的性质可求得a=，故选D．
3．【答案】C
【解析】随即变量的取值是等可能的，故，
，故选C．
4．【答案】D
【解析】由概率分布表可知．故选D．
7．【答案】
【解析】由题意知P(ξ＝k)＝(k＝5，6，…，14)，
所以P(ξ≥10)＝，P(6<ξ≤14)＝．
8．【答案】
【解析】由题可得，，所以，
所以．故的最小值为．
9．【答案】见解析．
【解析】ξ的可能取值分别为3，4，5，
P(ξ＝5)＝，
P(ξ＝4)＝，
P(ξ＝3)＝，
所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
10．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
当X＝0时，P(X＝0)＝，
当X＝1时，P(X＝1)＝，
当X＝2时，P(X＝2)＝，
当X＝3时，P(X＝3)＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P
（2）他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝．
11．【答案】D
【解析】由分布列的性质可知，
∴．故选D．
13．【答案】D
【解析】表示前个为白球，第个恰为红球．
（0，1，2，…，5），
∴分布列为
∴．
14．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，
依题意得，，，
所以ξ的分布列为
0
1
2
（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则，
所求概率为．
15．【答案】（1）；（2）分布列见解析．
【思路分析】（1）利用组合知识得到有关事件的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式进行求解；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再利用超几何分布的概率公式求出每个变量发生的概率，列表可得分布列．
【解析】（1）从这60名高二学生中随机选出2名的基本事件总数为，
且这2人在同一班级的基本事件个数为，
故所求概率．
（2）由题意可得的所有可能的取值为0，1，2，
且，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
16．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）该顾客中一等奖的概率，
所以该顾客中一等奖的概率是．
（2）的可能取值为20，15，10，5，0，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
20
15
10
5
0
18．【答案】（1）分布列见解析；（2）．
【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为，，，，从而；
；
；
；
；
；
．
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
（2）由（1）知，，故的最小值为19．