人教版高中数学选修2-3知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：专题2.2 二项分布及其应用

2.2 二项分布及其应用
知识
1．条件概率的概念
一般地，设，为两个事件，且，称________________为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．读作发生的条件下发生的概率．
注意：（1）条件概率中“”后面就是条件；（2）若，表示条件不可能发生，此时用条件概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在的情况下进行．
2．条件概率的性质
（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即________________．
（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．
（3）如果和是两个互斥事件，则．
3．条件概率的计算方法
（1）利用定义计算：先分别计算概率和，然后代入公式即可．
（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件包含的基本事件数，再在事件发生的条件下求事件包含的基本事件数，则________________．
4．相互独立事件的概念及性质
（1）相互独立事件的概念
对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此我们可得：设，为两个事件，若________________，则称事件与事件相互独立．
（2）相互独立事件的性质
如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立．
（3）两个事件的相互独立性的推广
两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率．
5．n次独立重复试验
一般地，在________________下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
6．二项分布
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则________________，0，1，2，…，．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
知识参考答案：
1． 2．
3． 4．
5．相同条件 6．
重点
重点
相互独立事件同时发生的概率求解、二项分布
难点
条件概率的求解、事件的相互独立性、相互独立事件与互斥事件的区别与联系
易错
混淆互斥事件与相互独立事件、对独立重复试验理解不透彻
易错 条件概率的相关计算及应用
求条件概率的关键是：（1）事件作为条件；（2）与同时发生．公式既是条件概率的定义，同时也是求条件概率的依据．
（1）一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为________________；
（2）有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为________________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）记“第一次取到白球”为事件，“第二次取到黑球”为事件．注意这里的问题与“求第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．
方法1：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率，
由条件概率的计算公式，得．
方法2：因为，，所以．
（2）设“种子发芽”为事件，“种子成长为幼苗”为事件（发芽且成活为幼苗），则出芽后的幼苗成活率为，，根据条件概率公式，故在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为．
【名师点睛】（1）由条件概率的定义知，与是不同的；另外，在事件发生的前提下，事件发生的可能性大小不一定是，即与不一定相等．（2）可变形为，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．如已知，可求；已知，可求．
重点 相互独立事件概率的计算
（1）掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件，的关系是
A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥
（2）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件：“甲击中目标”，事件：“乙击中目标”，则事件与事件
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【答案】（1）B；（2）A．
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
（1）进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
（2）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（3）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【思路分析】明确购买甲、乙两种商品及顾客之间购买商品都是相互独立的，用字母表示相应的随机事件，利用相互独立事件的概念进行求解即可．
【解析】记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；
记表示事件：进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买；
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．
（1）已知，则．
（2）因为，所以．
（3）因为，所以，故．
【名师点睛】事件的相互独立性是高考考查的重点．解题时应注意：
（1）需分清事件与事件之间的关联，判断事件是否相互独立；
（2）熟记“，中至少有一个发生的事件为；都发生的事件为；都不发生的事件为；恰有一个发生的事件为()()；至多有一个发生的事件为()()；
（3）对于多个独立事件同时发生的概率求解问题，可直接利用公式．
重点 二项分布的应用
二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
①根据题意设出随机变量；
②分析出随机变量服从二项分布；
③找到参数，；
④写出二项分布的分布列；
⑤将值代入求解概率．
箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】获奖的概率为，记获奖的人数为，则，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B．
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次数为．
（1）分别求与的分布列；
（2）求甲至少有2次正面朝上的概率及乙至多有1次正面朝上的概率；
（3）规定：若，则甲获胜；若，则乙获胜，分别求出甲、乙获胜的概率．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）依题意，可知，，
，
，
，
．
，
，
．
所以的分布列为
0
1
2
3
的分布列为
0
1
2
（2）由（1）知，甲至少有2次正面朝上的概率为；
乙至多有1次正面朝上的概率为．
(或)．
（3）甲获胜的情况有：；；，
所以甲获胜，
乙获胜的情况有：；，
所以乙获胜．
【名师点睛】二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
易错 混淆互斥事件与相互独立事件而致错
甲投篮命中率为，乙投篮命中率为，每人投3次，两人都恰好投中2次的概率是多少？
【错解】设“甲恰好投中2次”为事件，“乙恰好投中2次”为事件，
则“两人都恰好投中2次”为事件，
所以．
易错 对独立重复试验理解不透彻而致错
假定一个人在一年365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级有50名同学，其中有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率是多少？（最终结果用式子表示，不必求得具体数值）
【错解】由于每个人在每天出生的概率是，
一个人在天中的任意一天出生相当于做了次独立重复试验．
设50个人中生于8月8日的人数为，则，
所以有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率为
．
【错因分析】产生错解的原因是没有弄清随机试验是否是独立重复试验，每次试验指的是什么．由于每个人在一年中生于8月8日的概率是，50名同学的生日相当于进行了50次试验且各次试验互不影响，从而考虑独立重复试验．
【正解】由题意，显然每个人的生日是随机的，互不影响，
所以50名同学的生日相当于进行了50次独立重复试验．
若设50个人中生于8月8日的人数为，则，
从而有2名及2名以上的同学生于8月8日的概率为
．
基础训练
1．已知随机变量X服从二项分布X～B(6，)，则P(X＝2)＝
A． B．
C． D．
2．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则
A．p1＋p2＋…＋pn＝1 B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0 D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1
3．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是
A． B．
C． D．
4．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则
A． B．
C． D．
5．某道路A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为
A． B．
C． D．
6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是
A．[0.4，1) B．(0，0.4]
C．[0.6，1) D．(0，0.6]
7．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是
A． B．
C． D．
8．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)
A． B．
C． D．
9．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为________________．
10．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数，则取最大值时________________．
11．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为________________．
12．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．
（1）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列；
（2）求乙至多击中目标2次的概率；
（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

13．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．

能力提升
14．对同一目标独立地进行三次射击，恰好命中一次的概率为，则此射手的命中率为
A． B．
C． D．
15．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是
A． B．
C． D．
16．一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次射击命中的概率为
A． B．
C． D．
17．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是
A． B．
C．　　 D．
18．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是
A． B．
C． D．
19．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则
A． B．
C． D．
20．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值为________________．
21．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________________．
22．下列例子中随机变量服从二项分布的有________________．
①随机变量表示重复抛掷一枚骰子次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③某批产品共100件，其中有20件次品，采用有放回抽取的方法，每次抽取1件，表示次抽取中出现次品的件数；
④某批产品共100件，其中有20件次品，采用不放回抽取方法，每次抽取1件，表示次抽取中出现次品的件数．
23．某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．
（1）求某应聘人员被录用的概率；
（2）若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
24．高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是，这1名女生报此所大学的概率是，且这4人报此所大学互不影响．
（1）求这4名学生中报这所大学的男生人数与女生人数相等的概率；
（2）在报考这所大学的上述4名学生中，记为报这所大学的男生和女生人数的和，试求的分布列．

真题练习
25．（2019北京理节选）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．

26．（2019重庆模拟）某险种的基本保费为(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概率
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率．

27．（2019山东模拟）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：
A班

B班

C班

（1）试估计C班的学生人数；
（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是，，（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）．

参考答案
1．【答案】D
【解析】P(X＝2)＝．故选D．
2．【答案】B
【解析】由题意可知ξ～B(n，p)，由分布列的性质可知故选B．
3．【答案】B
【解析】所求概率为．故选B．
4．【答案】B
【解析】由题意可得．故选B．
7．【答案】B
【解析】抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积大于20包含4×6，6×4，6×5，6×6，共4个基本事件，所以其概率为．故选B．
8．【答案】D
【解析】设体型合格为事件A，身体关节构造合格为事件B，A与B为独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，所以两项中至少一项合格的概率为P＝1－P()＝1－P()·P()＝1－．故选D．
9．【答案】0.8
【解析】P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8．
10．【答案】
【解析】依题意，可得
且，解得，
又，所以．
12．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，
且X服从二项分布，即，
则X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
（2）乙至多击中目标2次的概率为．
（3）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，
甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B1，
甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B2，
则A＝B1＋B2，B1、B2为互斥事件，
则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝．
13．【答案】（1）见解析；（2）；（3）P(B)；P(B|A)．
【解析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，
依题意得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝，
所以所求概率为P()＝1－P(C)＝．
（3）由题可得P(B)＝；P(B|A)＝．
14．【答案】B
【解析】设此射手射击三次命中次数为，则，
依题意可得，解得．故选B．
15．【答案】A
【解析】由题可得在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是．故选A．
16．【答案】B
【解析】设此射手射击四次命中次数为，则，
依题意可得，即，
即，解得．故选B．
17．【答案】B
【解析】设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，
则P(T)＝P(R)＝，所以灯亮的概率为P＝1－P(T)·P(R)·P()·P()＝．故选B．
18．【答案】A
【解析】可知逆时针跳的概率为，顺时针跳的概率为，
则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝，
顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝，
所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝．故选A．
20．【答案】
【解析】由题意得，即，解得．
又，所以正整数的最小值为．
21．【答案】0.128
【解析】此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．
22．【答案】①③
【解析】对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，而在次独立重复试验中事件A恰好发生了次的概率（0，1，2，…，），符合二项分布的定义；对于②，的取值是1，2，3，…，，（1，2，3，…，），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；③和④的区别：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于③有．故填①③．
23．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】设“两位专家都同意通过”为事件A，
“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C．
（1）设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A＋BC，
∵P(A)＝×＝，P(B)＝2××(1－)＝，P(C)＝，
∴P(D)＝P(A＋BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝．
（2）根据题意，知X＝0，1，2，3，4，
设Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)，
则，
，
，
，
．
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
24．【答案】（1）；（2）分布列见解析．
【解析】（1）记“报这所大学的男生人数与女生人数相等”为事件，
男生人数记为0，1，2，3，女生人数记为0，1．
则．
（2）由题可知0，1，2，3，4．
，
，
，
，
．
所以的分布列为
0
1
2
3
4
25．【答案】（1）；（2）0.35．
【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为．
26．【答案】（1）；（2）．
【思路分析】（1）根据互斥事件的概率公式可求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于，由条件概率公式即可求解．
【解析】（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于，
故．
（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，
则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，
故．
又，故，因此所求概率为．
27．【答案】（1）；（2）；（3）．
【思路分析】（1）根据图表判断C班人数，由分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；（2）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率；（3）根据平均数公式进行判断即可．
设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．
由题意知，．
因此．
（3）根据平均数计算公式可知．
【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．