1.3一元二次方程的根与系数的关系同步练习含答案

课时作业(八)
[*1.3　一元二次方程的根与系数的关系]
　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　
一、选择题
1．[2018·宜宾]一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2的值为(　　)
A．－2 B．1 C．2 D．0
2．[2017·徐州二模]关于x的一元二次方程2x2＋ax＋2＝0的一个根是x＝2，则它的另一个根是(　　)
A．－ B. C．2 D．－2
3．[2018·眉山]若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是(　　)
A. B．－ C．－ D.
4．[2018·泰州]已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两个根，下列结论中一定正确的是(　　)
A．x1≠x2 B．x1＋x2＞0
C．x1·x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
5．若关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　)
A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2
6．若关于x的方程x2－(m2－4)x＋m＝0的两个根互为相反数，则m的值为(　　)
A．－2 B．2 C．±2 D．4
二、填空题
7．[2018·德州]若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________．
8．[2018·徐州一模]若x1，x2是方程2x2＋nx＋m＝0的两个根，且x1＋x2＝4，x1x2＝3.则m＋n＝________.
9．[2018·南京]若x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根，且x110．[2018·泸州]已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则＋的值是________.
11．[2018·江西]一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，则x12－4x1＋2x1x2的值为________．
12．若关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝3，则m＝________．
三、解答题
13．[2018·遂宁]已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两个实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.
14．[2018·南充]已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值．
15．[2018·孝感]已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．
(1)求证：无论p取何值，此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两个根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．
16．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．
17．[2017·江阴校级月考]若关于x的一元二次方程x2＋(k＋3)x＋k＝0的一个根是x＝－2，求k的值与方程的另一个根．
18．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m－1＝0.
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个根分别为x1，x2，且x12－x22＝0，求m的值．
数形结合已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋4k－3＝0.
(1)求证：无论k取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当Rt△ABC的斜边长a＝，且两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]D　∵一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，∴x1x2＝0.故选D.
2．B
3．[解析]C　∵α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，∴α＋β＝－，αβ＝－3，
∴＋＝＝＝＝－.故选C.
4．[解析]A　∵b2－4ac＝(－a)2－4×1×(－2)＝a2＋8＞0，∴x1≠x2，A选项正确；
∵x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两个根，∴x1＋x2＝a.∵a的值不确定，∴B选项不一定正确；
∵x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两个根，∴x1·x2＝－2，C选项错误；
∵x1·x2＝－2，∴x1，x2异号，D选项错误．
5．[解析]C　∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，
∴b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝0，
解得m1＝6，m2＝－2.
又∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，
∴m＋6＝m2，解得m1＝3，m2＝－2，
∴m＝－2.故选C.
6．[解析]A　∵方程x2－(m2－4)x＋m＝0的两个根互为相反数，
设这两个根是α，β，则α＋β＝m2－4＝0，
解得m1＝2，m2＝－2.
但当m＝2时，原方程为x2＋2＝0，方程没有实数根，故m＝－2.故选A.
7．[答案] －3
[解析] 由根与系数的关系可知x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.
8．－2
9．[答案] －2　3
[解析]∵x1，x2是一元二次方程x2－mx－6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，
∴m＝1，
∴原方程为x2－x－6＝0，
即(x＋2)(x－3)＝0.
∵x110．[答案] 6
[解析]∵x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－1，x12＝2x1＋1，
x22＝2x2＋1，
∴＋＝＋＝＝＝＝6.
11．[答案] 2
[解析]∵一元二次方程x2－4x＋2＝0的两个根分别为x1，x2，
∴x12－4x1＝－2，x1x2＝2，
∴x12－4x1＋2x1x2＝－2＋2×2＝2.
12．[答案] 0
[解析]∵x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2－1，
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3，
∴(2m－1)2－2(m2－1)＝3，
解得m1＝0，m2＝2.
∵方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0有两个实数根，
∴b2－4ac＝[－(2m－1)]2－4(m2－1)≥0，
解得m≤，
∴m＝0.
故答案为0.
13．解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，
解得a≤1.
∵x1x2＝a，x1＋x2＝2，
x1x2＋x1＋x2＞0，
∴a＋2＞0，
解得a＞－2，
∴－2＜a≤1.
14．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10，
∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10，
∴m2－2m－3＝0，
∴m＝－1或m＝3.
15．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.
∵b2－4ac＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0，
∴无论p取何值，此方程总有两个实数根．
(2)∵原方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.
又∵x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1.
∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1，
即25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1.
∴3p＝－6.∴p＝－2.
16．[解析] (1)根据方程有两个不相等的实数根可得b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，即可求出k的取值范围；
(2)首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k＋1＝k2＋1，结合k的取值范围解方程即可．
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得k＞.
(2)∵k＞，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0.
又∵x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1.
∵|x1|＋|x2|＝x1x2，∴2k＋1＝k2＋1，
解得k1＝0，k2＝2.又∵k＞，∴k＝2.
17．解：将x＝－2代入原方程中，
得4－2(k＋3)＋k＝0，
解得k＝－2.
∵两根之积为k，
∴方程的另一个根为＝＝1.
即k的值为－2，方程的另一个根为1.
18．解：(1)∵b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－m－1)＝4m2－3m2＋4m＋4＝m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0，∴无论m为何值，方程总有实数根．
(2)由题可知x1＋x2＝－2m.
∵x12－x22＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝0，
∴x1＋x2＝0或x1－x2＝0.
若x1＋x2＝0，则－2m＝0，
解得m＝0；
若x1－x2＝0，则b2－4ac＝(m＋2)2＝0，
解得m＝－2.
综上m＝0或m＝－2.
[素养提升]
解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2k＋1)]2－4(4k－3)＝4k2－12k＋13＝4(k－)2＋4＞0恒成立，
∴无论k取什么实数，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)根据勾股定理，得b2＋c2＝a2＝31.
∵两条直角边长b和c恰好是这个方程的两个根，
∴b＋c＝2k＋1，bc＝4k－3.
∵(b＋c)2－2bc＝b2＋c2＝31，
∴(2k＋1)2－2(4k－3)＝31，
整理，得4k2＋4k＋1－8k＋6－31＝0，
即k2－k－6＝0，解得k1＝3，k2＝－2.
∵b＋c＝2k＋1>0，∴k＝3.∵b＋c＝2k＋1＝7，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝＋7.