1.4用一元二次方程解决问题第1课时数字、面积问题同步练习含答案

课时作业(九)
[1.4　第1课时　数字、面积问题]　
一、选择题
1．从正方形铁片上截去一个2 cm宽的长方形铁片(长为正方形的边长)，若剩余长方形铁片的面积为80 cm2，则原来正方形铁片的边长为(　　)
A．10 cm B．11 cm C．12 cm D．13 cm
2．若两数之差为4，积为45，则这两个数是(　　)
A．5和9 B．－9和－5
C．5和－5或－9和9 D．5和9或－9和－5
3．若一个两位数的个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为(　　)
A．36 B．－25或－36
C．25或36 D．25
二、填空题
4．若两个连续自然数的平方和是85，则这两个自然数分别为________.
5．[2018·海门期末]如图9－K－1，把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积变为了原来的2倍，则小圆形场地的半径r＝________m.
图9－K－1
6．[2018·昆山期中]一张面积是200 cm2的长方形彩纸，长比宽多6 cm.设它的宽为xcm，可列方程为__________________．
7．[2018·徐州期末]如图9－K－2，学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边用长20 m的围栏围成，已知墙长9 m，则围成矩形的长是__________m，宽是________m.

图9－K－2 图9－K－3
如图9－K－3，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.
三、解答题
9．两个数的和为16，积为48.求这两个数．
10．如图9－K－4，用8 m长的铝合金制成一个矩形窗框，窗框的下部是一个正方形，上部是一个长方形，若要使窗户的透光面积为m2，求窗框的高．
图9－K－4
11．如图9－K－5，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横三竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的，应如何设计彩条的宽度？
图9－K－5
12．某小区拆除了自建房，改建绿地．如图9－K－6，自建房占地是边长是8 m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG＝2BE.设BE的长为x(单位：m).
(1)用含有x的代数式表示绿地AEFG的面积；
(2)当x取何值时，绿地AEFG的面积为70 m2?
图9－K－6
13．图9－K－7是上海世博园内一个矩形花园的示意图，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同的花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
图9－K－7
14．如图9－K－8，用长为30米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a＝10米)．设花圃的一边AB的长为x米，花圃的面积为y平方米．
(1)求y与x的函数表达式(不必写出自变量的取值范围)；
(2)如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求AB的长；
(3)按题目的设计要求，能不能围成面积为80平方米的花圃？请说明理由．
图9－K－8
新定义题如图9－K－9，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积．
图9－K－9

教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．A
2．[解析]D　设较小的数为x，则较大的数为x＋4.
根据题意，得x(x＋4)＝45，即x2＋4x－45＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝－9.
当x1＝5时，x1＋4＝9；
当x2＝－9时，x2＋4＝－5.
故这两个数是5和9或－9和－5.
3．[解析]C　设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为x－3.
根据题意，得10(x－3)＋x＝x2，
即x2－11x＋30＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝6.
当x1＝5时，x1－3＝2；
当x2＝6时，x2－3＝3.
故这个两位数是25或36.
4．[答案] 6和7
[解析] 设第一个自然数为x，则下一个自然数为x＋1.
根据题意，得x2＋(x＋1)2＝85，
即x2＋x－42＝0.
解这个方程，得x1＝－7(舍去)，x2＝6，
故另一个自然数为x2＋1＝6＋1＝7.
故答案为6和7.
5．[答案] (5＋5 )
[解析] 根据题意，得π(r＋5)2＝2πr2，
即r2－10r－25＝0.
解这个方程，得x1＝5＋5 ，x2＝5－5 (不合题意，舍去)．
故答案为(5＋5 )．
6．x(x＋6)＝200
7．[答案] 8　6
[解析] 设垂直于墙的一边的长为x m，则平行于墙的一边的长为(20－2x)m.
根据题意，得x(20－2x)＝48，
即x2－10x＋24＝0.
解这个方程，得x1＝4，x2＝6.
当x1＝4时，平行于墙的一边的长为20－2×4＝12＞9(舍去)；
当x2＝6时，平行于墙的一边的长为20－2×6＝8(m)．
故矩形的长为8 m，宽为6 m.
8．[答案] 2
[解析] 设人行通道的宽度为x m.
根据题意，得(36－3x)(24－2x)＝600，
即x2－24x＋44＝0.
解这个方程，得x1＝2，x2＝22(不合题意，舍去)．
故答案为2.
9．解：设其中一个数为x，则另一个数为16－x.
根据题意，得x(16－x)＝48，
即x2－16x＋48＝0.
解这个方程，得x1＝4，x2＝12.
当x1＝4时，16－x1＝12；
当x2＝12时，16－x2＝4.
答：这两个数为4和12.
10．解：设窗框的宽为x m，则窗框的高为m．根据题意，得x()＝，
即9x2－24x＋16＝0.
解这个方程，得x1＝x2＝.∴＝2(m)．
答：窗框的高为2 m.
11．解：设竖条的宽度是2x cm，则横条的宽度是3x cm.
根据题意，得(20－6x)(30－6x)＝(1－)×20×30，即6x2－50x＋44＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝(舍去)．
2×1＝2(cm)，3×1＝3(cm)．
答：应设计竖条宽2 cm，横条宽3 cm.
12．解：(1)S矩形AEFG＝AE·AG＝(8－x)(8＋2x)＝－2x2＋8x＋64(0＜x＜8)．
(2)根据题意，得－2x2＋8x＋64＝70.
解这个方程，得x1＝1，x2＝3.
经检验均符合题意．
答：当x取1或3时，绿地AEFG的面积为70 m2.
13．解：设花园各角处的正方形观光休息亭的边长为x米．
根据题意，得(100－2x)(50－2x)＝3600，
即x2－75x＋350＝0.
解这个方程，得x1＝5，x2＝70.
∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，
∴x＝5.
答：花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米．
14．解：(1)根据题意，得
y＝x(30－3x)，
即y＝－3x2＋30x.
(2)当y＝63时，－3x2＋30x＝63.
解这个方程，得x1＝7，x2＝3.
当x1＝7时，30－3x1＝9＜10，符合题意；
当x2＝3时，30－3x2＝21＞10，不符合题意，舍去．
故所围成的花圃的面积为63平方米时，AB的长为7米．
(3)不能围成面积为80平方米的花圃．
理由：当y＝80时，－3x2＋30x＝80，
即3x2－30x＋80＝0.
∵b2－4ac＝(－30)2－4×3×80＝－60＜0，
∴这个方程无实数根，∴不能围成面积为80平方米的花圃．
[素养提升]
解：(1)(答案不唯一)当a＝3，b＝4，c＝5时，
勾系一元二次方程为3x2＋5 x＋4＝0.
(2)当x＝－1时，有a－c＋b＝0，
即a＋b＝c.
∵2a＋2b＋c＝6 ，即2(a＋b)＋c＝6 ，
∴3 c＝6 ，解得c＝2，
∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2 .
又∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
∴ab＝2，∴S△ABC＝ab＝1.