苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题第4课时与质点运动有关的问题同步课时练习（含解析）

课时作业(十二)
[1.4　第4课时　与质点运动有关的问题]
一、选择题
1．如图12－K－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点P，Q同时由点A，B出发，分别沿AC，BC方向以1 cm/s的速度向点C匀速移动，如果设xs后，△PCQ的面积为△ABC面积的一半，那么下列所列方程中正确的是(　　)
A.(8－x)(6－x)＝×8×6× B.(8－x)(6－x)＝×8×6
C.(8－x)(6－x)＝8×6 D.(8－x)(6－x)＝2×8×6

图12－K－1 图12－K－2
2．如图12－K－2，将边长为2 cm的正方形纸片ABCD沿其对角线AC剪开，得到两个三角形，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′.若△A′B′C′与△ACD重叠部分的面积为1 cm2，则△ABC移动的距离AA′为(　　)
A．0.5 cm 　 B．1 cm 　 C．1.5 cm 　 D．2 cm
二、填空题
3．如图12－K－3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点E从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B移动，同时，点F从点B出发，以2 cm/s的速度向终点C移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．________s后，△EBF的面积为5 cm2.
图12－K－3
如图12－K－4，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，到达点B时停止运动，点Q以2 cm/s的速度向终点D移动．当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．________s后，点P和点Q之间的距离是10 cm.
图12－K－4
三、解答题
5．[2018·建邺区期中]如图12－K－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，CB＝6.5 cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．当点Q到达终点B时，点P也停止移动.
(1)几秒钟后，△PCQ的面积为3 cm2?
(2)几秒钟后，PQ＝5 cm?
图12－K－5
6．如图12－K－6，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B移动，点Q从点B出发，以2 cm/s的速度向终点C移动．如果P，Q两点同时出发，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?
图12－K－6
7．[2018·昌图期末]如图12－K－7，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝16 cm，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，点P从点B开始沿BA边向点A匀速移动，然后再返回点B，点P的速度为3 cm/s.当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动．
(1)如果P，Q两点分别从点B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于21 cm2?
(2)如果P，Q两点分别从点B同时出发，△PBQ的面积能否等于51 cm2？请说明理由．
图12－K－7
8．如图12－K－8所示，AO＝BO＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB于点O，一只蚂蚁由点A出发以2 cm/s的速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O出发以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使以两只蚂蚁所在位置与点O为顶点的三角形的面积为450 cm2？若存在，请说明在什么时刻；若不存在，请说明理由．
图12－K－8
9．如图12－K－9，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向终点B移动，点Q从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向终点C移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达终点后，两点同时停止运动．
(1)经过6 s，BP＝________cm，BQ＝________cm；
(2)经过几秒，△BPQ的面积为10 cm2?
图12－K－9
[2018·徐州]如图12－K－10，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连接AF.
(1)求证：FH＝ED；
(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？
图12－K－10

教师详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析]A　设x s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半，则此时PC＝AC－AP＝(8－x)cm，CQ＝BC－BQ＝(6－x)cm.
∵△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
∴(8－x)(6－x)＝×8×6×.故选A.
2．[解析]B　设AC交A′B′于点H.
∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，
由题意可知阴影部分为平行四边形，
其底边长为x cm，高A′D＝(2－x)cm，
∴x·(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.故选B.
3．[答案] 1
[解析] 设x s后△EBF的面积为5 cm2.根据题意，得(6－x)·2x＝5.整理，得x2－6x＋5＝0.解这个方程，得x1＝1，x2＝5.当x＝5时，2x＝10＞8，舍去，所以1 s后△EBF的面积为5 cm2.
4．[答案] 2或
[解析] 设x s后，点P和点Q之间的距离是10 cm，此时AP＝3x cm，DQ＝(16－2x)cm.
根据题意，得(16－2x－3x)2＋82＝102.
解这个方程，得x1＝2，x2＝.
经检验，均符合题意．
5．解：设运动时间为x s，
则PC＝(4－x) cm，CQ＝2x cm.
(1)根据题意，得×2x(4－x)＝3.
整理，得x2－4x＋3＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝3.
经检验，均符合题意．
答：1 s或3 s后△PQC的面积为3 cm2.
(2)根据题意，得(2x)2＋(4－x)2＝52.
整理，得5x2－8x－9＝0.
解这个方程，得x1＝，x2＝(舍去)，
经检验， x＝符合题意．
答：s后，PQ＝5 cm.
6．解：如图，过点Q作QE⊥AB于点E，
则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB.∴S△PQB＝PB·QE.
设经过t s后△PBQ的面积等于4 cm2，
则PB＝6－t，QB＝2t，∴QE＝t.
根据题意，得·(6－t)·t＝4.整理，得t2－6t＋8＝0.
解这个方程，得t1＝2，t2＝4.
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2.
答：经过2 s后△PBQ的面积等于4 cm2.
7．解：由已知得，12÷3＝4(s)，16÷2＝8(s)，∴点P从点B移动到点A需要4 s，然后再返回到点B，仍需要4 s；点Q从点B移动到点C，需要8 s.
设运动时间为t s，则△PBQ的面积与时间t的关系如下：
当0当4＜t<8时，S△PBQ＝×BP×BQ＝×(24－3t)×2t＝－3t2＋24t.
(1)如果△PBQ的面积为21 cm2，
当0当4＜t<8时，－3t2＋24t＝21，解得t1＝7，t2＝1(舍去)．
∴如果P，Q两点分别从点B同时出发，那么s和7 s后△PBQ的面积等于21 cm2.
(2)不能．理由：如果面积为51 cm2，
当0当4＜t<8时，－3t2＋24t＝51，整理，得t2－8t＋17＝0，
由b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，可知这个方程无实数根．
∴如果P，Q两点分别从点B同时出发，△PBQ的面积不能等于51 cm2.
8．[解析] 分两种情况进行讨论：(1)蚂蚁在AO上运动；(2)蚂蚁在OB上运动．根据三角形的面积公式即可列方程求解．
解：存在．有两种情况：
(1)如图①，当蚂蚁在AO上运动时，设x s时以两只蚂蚁所在位置与点O为顶点的三角形的面积为450 cm2.根据题意，得×3x×(50－2x)＝450.整理，得x2－25x＋150＝0.
解这个方程，得x1＝15，x2＝10.经检验，均符合题意．
(2)如图②，当蚂蚁在OB上运动时，设y s时，以两只蚂蚁所在位置与点O为顶点的三角形的面积为450 cm2.根据题意，得×3y×(2y－50)＝450.
整理，得y2－25y－150＝0.解这个方程，得y1＝30，y2＝－5(舍去)．
答：10 s，15 s或30 s时，以两只蚂蚁所在位置与点O为顶点的三角形的面积为450 cm2.
9．解：(1)6　12
(2)设经过y s，△BPQ的面积为10 cm2.
由题意，得∠B＝60°，BQ＝2y cm，BP＝(12－y)cm.
过点Q作QD⊥AB于点D，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB＝BQ＝y cm.
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝y cm.
∴＝10 .整理，得y2－12y＋20＝0.解这个方程，得y1＝10，y2＝2.
∵当y1＝10时，2y1＝20＞12，故舍去，∴y＝2.
答：经过2 s，△BPQ的面积为10 cm2.
[素养提升]
解：(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF.
∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，∴∠FEH＝∠DCE.
在△FEH和△ECD中，
∴△FEH≌△ECD，∴FH＝ED.
(2)设AE＝a，则ED＝FH＝4－a，∴S△AEF＝AE·FH＝a·(4－a)＝－(a－2)2＋2，
∴当AE＝2时，△AEF的面积最大．