3.4 实际问题与一元一次方程 课件
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3.4 实际问题与一元一次方程
数学人教版 七年级上
学习目标
（1）能适时的利用“一元一次方程”解决问题.
（2）理解“销售中的盈亏”问题中的相关概念及它们之间的数量关系.
（3）经历探究解题的过程，增强探究解决综合性问题的能力.
从前面的讨论中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一
种很有用的数学工具.本节我们重点讨论如何利用一元一次方程解
决实际问题.下面我们做一做两道例题体验一下吧！
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个
螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配
套，应安排生产螺钉和螺母的工人各是多少？
分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.
新知导入
解：设应安排x名工人生产螺钉，（22-x）名工人生产螺母.
列出方程，得
2000（22-x）=2×1200x
解方程，得
5（22-x）=6x
110-5x=6x
11x=110
x=10
22-x=12
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先
做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人
的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
解：设安排x人先做4h.根据先后两个小时段的工作量之和应等于
总工作量，列出方程
解方程，得
4x+8（x+2）=40
4x+8x+16=40
12x=24
X=2
答：应安排2人先做4h.
这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
归纳
实际问题
一元一次方程
实际问题的答案
一元一次方程的解
设未知数，列方程
解方程
检验
课堂探究
探究1：销售中的盈亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：两件衣服共卖了120（=60×2）元，是盈是亏要看这家商店买进这两件时花了多少钱.如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品的利润是40×25%元；如果卖出后亏损25%，商品利润是40×（-25%）.
本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是
0.25x.根据进价与利润的和等于售价，列出方程
X+0.25x=60
由此得
X=48
类似地，可以设另一件衣服的进价为y元它的商品利润是-0.25y元，
列方程得
Y-0.25y=60
由此得
Y=80
两件衣服的进价是x+y=128,而两件衣服的售价是60+60=120元，进价
大于售价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元.
探究2：球赛积分表问题
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
某次篮球联赛积分榜
通过观察积分表，你能选择出来其中哪一行最能说明负一场积积分吗？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
设胜场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.例如，
从第一行得方程
10x+1×4=24
用积分榜中其他可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场2分.
（1）如果一个队胜m场，则负（14-m）场，胜场积分为2m，负场积分为14-m，总积分为
2m+（14-m）=m+14
（2）设一胜了x场，则负了（14-x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程
2x=14-x
由此得
X=14/3
探究3：电话计费问题
考虑下列问题：
（1）设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）,根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算你的看法.
下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费/元 主叫限定时间
/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 350 免费
（1）当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表：
（2）观察（1）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化.下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.
①当小于t或等于150时，按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元.因此，当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程
58+0.25（t-150）=88
解得
t=270
主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元
t小于150 58 88
t=150 58 88
t大于150且小于350 58+0.25（t-150） 88
t=350 58+0.25（350-150）=180 88
t大于350 58+0.25（t-150） 88+0.19（t-350）
③当t=350时，按方式二的计费少.
④当t大于350时，可以看出，按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费（0.25（t-350）），按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费（0.19（t-350）），按方式的计费少.
综合以上的分析，可以发现
________时，选择方案一省钱；
________时，选择方案二省钱.
拓展提高
现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按
原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比原价销售时增加比例为x.
则列出方程，得
（1+x）×（1-20%）=1
解得
X=0.25
答：销售狼要比原价销售时增加25%.
课堂总结
（1）这节课你学习了哪些内容？
（2）通过学习你有哪些收获？
作业布置
习题3.4复习巩固第2、3题，综合运用第6、7题.
谢谢
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3.4 实际问题与一元一次方程
数学人教版 七年级上
学习目标
（1）能适时的利用“一元一次方程”解决问题.
（2）理解“销售中的盈亏”问题中的相关概念及它们之间的数量关系.
（3）经历探究解题的过程，增强探究解决综合性问题的能力.
从前面的讨论中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一
种很有用的数学工具.本节我们重点讨论如何利用一元一次方程解
决实际问题.下面我们做一做两道例题体验一下吧！
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个
螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配
套，应安排生产螺钉和螺母的工人各是多少？
分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.
新知导入
解：设应安排x名工人生产螺钉，（22-x）名工人生产螺母.
列出方程，得
2000（22-x）=2×1200x
解方程，得
5（22-x）=6x
110-5x=6x
11x=110
x=10
22-x=12
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先
做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作.假设这些人
的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
解：设安排x人先做4h.根据先后两个小时段的工作量之和应等于
总工作量，列出方程
解方程，得
4x+8（x+2）=40
4x+8x+16=40
12x=24
X=2
答：应安排2人先做4h.
这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
归纳
实际问题
一元一次方程
实际问题的答案
一元一次方程的解
设未知数，列方程
解方程
检验
课堂探究
探究1：销售中的盈亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
分析：两件衣服共卖了120（=60×2）元，是盈是亏要看这家商店买进这两件时花了多少钱.如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品的利润是40×25%元；如果卖出后亏损25%，商品利润是40×（-25%）.
本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是
0.25x.根据进价与利润的和等于售价，列出方程
X+0.25x=60
由此得
X=48
类似地，可以设另一件衣服的进价为y元它的商品利润是-0.25y元，
列方程得
Y-0.25y=60
由此得
Y=80
两件衣服的进价是x+y=128,而两件衣服的售价是60+60=120元，进价
大于售价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元.
探究2：球赛积分表问题
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
某次篮球联赛积分榜
通过观察积分表，你能选择出来其中哪一行最能说明负一场积积分吗？
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
设胜场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.例如，
从第一行得方程
10x+1×4=24
用积分榜中其他可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场2分.
（1）如果一个队胜m场，则负（14-m）场，胜场积分为2m，负场积分为14-m，总积分为
2m+（14-m）=m+14
（2）设一胜了x场，则负了（14-x）场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程
2x=14-x
由此得
X=14/3
探究3：电话计费问题
考虑下列问题：
（1）设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）,根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算你的看法.
下表中有两种移动电话计费方式.
月使用费/元 主叫限定时间
/min 主叫超时费/（元/min） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 350 免费
（1）当t在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下页表：
（2）观察（1）中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化.下面比较不同时间范围内方式一和方式二的计费情况.
①当小于t或等于150时，按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而按方式二的计费一直是88元.因此，当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程
58+0.25（t-150）=88
解得
t=270
主叫时间t/min 方式一计费/元 方式二计费/元
t小于150 58 88
t=150 58 88
t大于150且小于350 58+0.25（t-150） 88
t=350 58+0.25（350-150）=180 88
t大于350 58+0.25（t-150） 88+0.19（t-350）
③当t=350时，按方式二的计费少.
④当t大于350时，可以看出，按方式一的计费为108元加上超过350min部分的超时费（0.25（t-350）），按方式二的计费为88元加上超过350min部分的超时费（0.19（t-350）），按方式的计费少.
综合以上的分析，可以发现
________时，选择方案一省钱；
________时，选择方案二省钱.
拓展提高
现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按
原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比原价销售时增加比例为x.
则列出方程，得
（1+x）×（1-20%）=1
解得
X=0.25
答：销售狼要比原价销售时增加25%.
课堂总结
（1）这节课你学习了哪些内容？
（2）通过学习你有哪些收获？
作业布置
习题3.4复习巩固第2、3题，综合运用第6、7题.
谢谢
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