数学高中人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换（第一课时）Word版含解析
文档属性
| 名称 | 数学高中人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换（第一课时）Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 59.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-02 21:35:46 | ||
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文档简介
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
(第一课时)
学习目标
通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向应用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
1.两角和与差公式
cos(α-β)= ?
cos(α+β)= ?
sin(α-β)= ?
sin(α+β)= ?
tan(α+β)= ?
tan(α-β)= ?
2.二倍角公式:
sin 2α= ?
cos 2α= ?
= ?
= ?
tan 2α= ?
公式变形:
sin αcos α=12sin 2α
2sin 2α=1-cos 2α?sin 2α=1-cos2α2
2cos2α=1+cos 2α?cos 2α=1+cos2α2
二、典例分析,性质应用
【例1】试以cos α表示sin2α2,cos2α2,tan2α2.
【例2】求证:
(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)sin θ+sin φ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.
【例3】求函数y=sin x+3cos x的周期、最大值和最小值.
三、变式演练,深化提高
1.求证:tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.(课本P142练习第1题)
2.化简1+sinx-cosx1+sinx+cosx.
四、反思小结,观点提炼
布置作业
1.课本P142练习第2,3,4题,
2.课本P143习题3.2A组,B组各题.
参考答案
二、典例分析,性质应用
【例1】解:我们可以通过二倍角cos α=2cos2α2-1和cos α=1-2sin2α2来做此题.
因为cos α=1-2sin2α2,可以得到sin2α2=1-cosα2;
因为cos α=2cos2α2-1,可以得到cos2α2=1+cosα2.
tan2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα1+cosα.
【例2】证明:(1)因为sin(α+β)和sin(α-β)是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
两式相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
即sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)].
(2)由(1)得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β ①
设α+β=θ,α-β=φ,
那么α=θ+φ2,β=θ-φ2.
把α,β的值代入①式中得sin θ+sin φ=2sinθ+φ2·cosθ-φ2.
【例3】解:y=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+π3),
所以,所求的周期T=2πω=2π,最大值为2,最小值为=2.
三、变式演练,深化提高
1.证明:方法一:sinα1+cosα=2sinα2cosα22cos2α2=sinα2cosα2=tanα2.
1-cosαsinα=2sin2α22sinα2cosα2=sinα2cosα2=tanα2.
方法二:tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα.
tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.
2.解:原式=2sin?2x2+2sinx2cosx22cos?2x2+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(cosx2+sinx2)=tanx2.
四、反思小结,观点提炼
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系,积化和差与和差化积的公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.
3.2 简单的三角恒等变换
(第一课时)
学习目标
通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式、如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向应用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
1.两角和与差公式
cos(α-β)= ?
cos(α+β)= ?
sin(α-β)= ?
sin(α+β)= ?
tan(α+β)= ?
tan(α-β)= ?
2.二倍角公式:
sin 2α= ?
cos 2α= ?
= ?
= ?
tan 2α= ?
公式变形:
sin αcos α=12sin 2α
2sin 2α=1-cos 2α?sin 2α=1-cos2α2
2cos2α=1+cos 2α?cos 2α=1+cos2α2
二、典例分析,性质应用
【例1】试以cos α表示sin2α2,cos2α2,tan2α2.
【例2】求证:
(1)sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)];
(2)sin θ+sin φ=2sinθ+φ2cosθ-φ2.
【例3】求函数y=sin x+3cos x的周期、最大值和最小值.
三、变式演练,深化提高
1.求证:tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.(课本P142练习第1题)
2.化简1+sinx-cosx1+sinx+cosx.
四、反思小结,观点提炼
布置作业
1.课本P142练习第2,3,4题,
2.课本P143习题3.2A组,B组各题.
参考答案
二、典例分析,性质应用
【例1】解:我们可以通过二倍角cos α=2cos2α2-1和cos α=1-2sin2α2来做此题.
因为cos α=1-2sin2α2,可以得到sin2α2=1-cosα2;
因为cos α=2cos2α2-1,可以得到cos2α2=1+cosα2.
tan2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα1+cosα.
【例2】证明:(1)因为sin(α+β)和sin(α-β)是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
两式相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
即sin αcos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)].
(2)由(1)得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β ①
设α+β=θ,α-β=φ,
那么α=θ+φ2,β=θ-φ2.
把α,β的值代入①式中得sin θ+sin φ=2sinθ+φ2·cosθ-φ2.
【例3】解:y=sin x+3cos x=2(12sin x+32cos x)=2sin(x+π3),
所以,所求的周期T=2πω=2π,最大值为2,最小值为=2.
三、变式演练,深化提高
1.证明:方法一:sinα1+cosα=2sinα2cosα22cos2α2=sinα2cosα2=tanα2.
1-cosαsinα=2sin2α22sinα2cosα2=sinα2cosα2=tanα2.
方法二:tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα.
tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.
2.解:原式=2sin?2x2+2sinx2cosx22cos?2x2+2sinx2cosx2=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(cosx2+sinx2)=tanx2.
四、反思小结,观点提炼
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系,积化和差与和差化积的公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.