数学高中人教A版必修4学案：第二章平面向量Word版含解析

第二章　平面向量
本章小结
学习目标
1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.
2.了解平面向量基本定理.
3.向量加法的平行四边形法则(共起点)和三角形法则(首尾相接).
4.了解实数与向量的乘法(即数乘的意义).
5.向量的坐标概念和坐标表示法.
6.向量的坐标运算(加、减、实数和向量的乘法、数量积).
7.数量积(点乘或内积)的概念,a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2,注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.
合作学习
一、设计问题,创设情境
下列命题中,正确命题的个数为(　　)
①若a与b是非零向量,且a与b共线时,则a+b必与a或b中之一方向相同;②若e为单位向量,且a∥e,则a=|a|e;③a·a·a=|a|3;④若a与b共线,a与c共线,则c与b共线.⑤若平面内四点A,B,C,D,必有AC+BD=BC+AD.
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
二、信息交流,揭示规律
问题1:平面向量全章的知识结构是怎样的?
问题2:以平面向量为工具可以解决哪些运算问题?
问题3:以平面向量为工具可以解决那些位置关系问题?
问题4:以平面向量为工具可以解决哪些度量关系问题?
三、运用规律,解决问题
【例1】化简:
(1)(AB+MB)+BO+OM;
(2)AB+DA+BD?BC?CA.
【例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【例3】设AB=2(a+5b),BC=-2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D 三点共线.
【例4】对于任意非零向量a与b,求证:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
【例5】下面5个命题:①|a·b|=|a|·|b|;②(a·b)2=a2·b2;③a⊥(b-c),则a·c=a·b;④a·b=0,则|a+b|=|a-b|;⑤a·b=0,则a=0或b=0,其中真命题是(　　)
A.①②⑤ B.③④
C.①③ D.②④⑤
【例6】设平面内的向量OA=(1,7),OB=(5,1),OM=(2,1),点P是直线OM上的一个动点,求当PA·PB取最小值时,OP的坐标及∠APB的余弦值.
四、变式演练,深化提高
1.n为何值时,向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同?
2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),求λ和μ,使c=λa +μb.
五、反思小结,观点提炼
请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
(经过学生短暂梳理,小组发言)
1.?
2.?
布置作业
课本P118复习参考题A组第2,3,5题.
参考答案
一、设计问题,创设情境
对于①,若和向量是零向量,不成立;对于②,若e与a反向,则不成立;对于③,结合律不成立;对于④,若b是零向量,则不成立;根据向量分解的知识容易知道,只有⑤正确,故答案选A
二、信息交流,揭示规律
问题1:
问题2:基本运算:实数与向量的积的运算律:
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
平面向量数量积的运算律:
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
问题3:向量运算及平行与垂直的判定:
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0).
则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a·b=x1x2+y1y2.
a∥b?x1y2-x2y1=0.a⊥b?x1x2+y1y2=0.
问题4:夹角公式:cosθ=a·b|a|·|b|=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22 .
求模:|a|=a·a,|a|=x2+y2,|a|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)(AB+MB)+BO+OM
=AB+BO+OM+MB
=AO+OB
=AB.
(2)AB+DA+BD?BC?CA
=AB+BD+DA-(BC+CA)
=0-BA
=AB.
【例2】解:由ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当它们平行时得k=-13,此时它们反向.
【例3】证明:因为BD=BC+CD=a+5b=12AB,所以A,B,D三点共线.
【例4】证明:(1)两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不同,并且|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|.
(2)两个非零向量a与b共线时,①a与b同向,则a+b的方向与ab相同且|a+b|=|a|+|b|.②a与b异向时,则a+b的方向与模较大的向量方向相同,设|a|>|b|,则|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立.
【例5】解析:由数量积的定义知道,①②不正确.对于⑤,当两个向量垂直时,数量积为零,但是两个向量可以不是零向量,所以⑤不正确.
答案:B
【例6】解:设OP=(x,y),∵点P在直线OM上,
∴OP与OM共线,而OM=(2,1),∴x-2y=0即x=2y,
有OP=(2y,y).∵PA=OA?OP=(1-2y,7-y),PB=OB?OP=(5-2y,1-y),
∴PA·PB=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)
=5y2-20y+12
=5(y-2)2-8.
从而,当且仅当y=2,x=4时,PA·PB取得最小值-8,
此时OP=(4,2),PA=(-3,5),PB=(1,-1).
于是|PA|=34,|PB|=2,PA·PB=(-3)×1+5×(-1)=-8,
∴cos∠APB=PA·PB|PA|·|PB|=-834×2=-41717 .
四、变式演练,深化提高
1.解:由向量共线的等价条件知道n=2.
2.解:由(-1,0)=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),
得λ=-1,μ=0.
五、反思小结,观点提炼
1.平面向量的基本概念.
2.平面向量的位置关系与度量关系.