数学高中人教A版必修4学案：第三章三角恒等变换Word版含解析

第三章　三角恒等变换
本章小结
学习目标
对本章知识进行总结,对重点、热点题型进行归纳梳理.
合作学习
一、知识分析
(一)公式归纳
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;
(2)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
(3)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β;
(4)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
(5)tan(α-β)=
tan??-tan??
1+tan??tan??
?(tan α-tan β=tan(α-β)·(1+tan αtan β));
(6)tan(α+β)=
tan??+tan??
1-tan??tan??
?(tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)).
2.二倍角的正弦、余弦和正切公式:
(1)sin 2α=2sin αcos α?1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sinα±cos α)2;
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
?升幂公式1+cos α=2cos2
??
2
,1-cos α=2sin2
??
2
?降幂公式cos2α=
cos2??+1
2
,sin2α=
1-cos2??
2
;
(3)tan 2α=
2tan??
1-ta
??
2
??
.
3.万能公式:
(1)sin 2θ=
2tan??
1+ta
??
2
??
;
(2)cos 2θ=
1-ta
??
2
??
1+ta
??
2
??
;
(3)tan 2θ=
2tan??
1-ta
??
2
??
;
(4)sin2θ=
ta
??
2
??
1+ta
??
2
??
;
(5)cos2θ=
1
1+ta
??
2
??
.
4.半角公式:
(1)cos
??
2
=±
1+cos??
2
;
(2)sin
??
2
=±
1-cos??
2
;
(3)tan
??
2
=±
1-cos??
1+cos??
=
sin??
1+cos??
=
1-cos??
sin??
.(后两个不用判断符号,更加好用)
5.asin θ+bcos θ=
??
2
+
??
2
sin(θ+φ)(其中辅助角φ与点(a,b)在同一象限,且tan φ=
??
??
).
(二)要点概述
1.求值常用的方法:化弦法,升幂、降幂法,辅助元素法,“1”的代换法等.
2.要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,
??
3
是
2??
3
的半角,
??
2
是
??
4
的倍角等.
3.要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,正确选用公式,灵活掌握各个公式的正用、逆用、变形用等.
4.求值的类型:
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系.解题时,要利用观察得到的关系,进行适当角的配凑、升降幂公式将非特殊角转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.
5.灵活运用角和公式的变形,如:2α=(α+β)+(α-β),tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因此要注意角的范围的讨论.
6.化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定.
7.证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法:①从一边到另一边;②两边等于同一个式子;③作差法.
二、典例分析,性质应用
(一)求值题
【例1】已知α∈(
π
4
,
3π
4
),β∈(0,
π
4
),且cos(
π
4
-α)=
3
5
,sin(
5
4
π+β)=-
12
13
,求cos(α+β).
(二)化简题
【例2】化简:
(1+sin??+cos??)(sin
??
2
-cos
??
2
)
2+2cos??
,其中π<α<2π.
(三)证明题
【例3】求证:
1-2sin??cos??
cos
?
2
x-sin
?
2
x
=
1-tan??
1+tan??
.
(四)与向量、三角形等有关的综合题
【例4】平面直角坐标系内有点P(1,cos x),Q(cos x,1),x∈[-
π
4
,
π
4
].
(1)求向量
????
与
????
的夹角θ的余弦;
(2)求cos θ的最值.
(五)恒等变换综合应用
【例5】已知函数f(x)=sin xcos x-
3
sin 2x+
3
2
.
(1)求f(x)的最小正周期及f(
π
12
);
(2)求函数f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的值域;
(3)求函数的单调区间;
(4)求函数的对称轴及对称中心.
三、章末巩固
(一)选择题
1.
sin15°+cos15°
sin15°-cos15°
的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
3
3
B.
2
+
6
4
C.
2
-
6
4
D.-
3
2.
1
2
cos α-
3
2
sin α可化为(　　)
A.sin(
π
6
-α) B.sin(
π
3
-α)
C.sin(
π
6
+α) D.sin(
π
3
+α)
3.若α,β∈(0,
π
2
),且tan α=
4
3
,tan β=
1
7
,则α-β的值是(　　)
A.
π
3
B.
π
4
C.
π
6
D.
π
8
4.函数y=8sin xcos xcos 2x的周期为T,最大值为A,则(　　)
A.T=π,A=4 B.T=
π
2
,A=4
C.T=π,A=2 D.T=
π
2
,A=2
5.已知
1
cos??
?
1
sin??
=1,则sin 2α的值为(　　)
A.
2
-1 B.1-
2
C.2
2
-2 D.2-2
2
6.已知tan θ=
1
3
,则cos 2θ+
1
2
sin 2θ等于(　　)
A.-
6
5
B.-
4
5
C.
4
5
D.
6
5
7.设f(tan x)=tan 2x,则f(2)等于(　　)
A.4 B.
4
5
C.-
2
3
D.-
4
3
8.
2-sin
?
2
2+cos4
的值是(　　)
A.sin 2 B.-cos 2
C.-
3
cos 2 D.
3
cos 2
9.在△ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
10.要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.正弦值为
1
3
的锐角
11.已知向量
????
=(2,0),向量
????
=(2,2),向量
????
=(
2
cos α,
2
sin α),则向量
????
与
????
的夹角范围为(　　)
A.[0,
π
4
] B.[
π
4
,
5π
12
]
C.[
5π
12
,
π
2
] D.[
π
12
,
5π
12
]
12.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α的值为(　　)
A.±4 B.4
C.-4 D.1
(二)填空题
13.已知sin α+cos α=
1
3
,则cos 4α=　　　　.?
14.函数y=2sin xcos x-2sin 2x+1的最小正周期为　　　　.?
15.已知α+β=
π
6
,且α,β满足关系式
3
(tan αtan β+a)+2tan α+3tan β=0,则tan α=　　　　.?
16.已知f(x)=
1-??
1+??
,若α∈(
π
2
,π),则f(cos α)+f(-cos α)可化简为　　　　.?
(三)解答题
17.求值:tan 70°cos 10°·(
3
tan 20°-1).
18.已知函数f(x)=sin 2x+
3
sin xcos x+
1
2
.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合;
(3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性.
19.若已知cos(
π
4
+x)=
3
5
,
17π
12
7π
4
,求
sin2??+2sin
?
2
x
1-tan??
的值.
20.已知α,β为锐角,且3sin 2α+2sin 2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0.求证:α+2β=
π
2
.
参考答案/
二、典例分析,性质应用
【例1】解:由已知α∈(
π
4
,
3π
4
),得-α∈(-
3π
4
,-
π
4
),
∴
π
4
-α∈(-
π
2
,0),
又cos(
π
4
-α)=
3
5
,
∴sin(
π
4
-α)=-
4
5
,
由β∈(0,
π
4
),得
π
4
+β∈(
π
4
,
π
2
),
又∵sin(
5
4
π+β)=sin[π+(
π
4
+β)]=-sin(
π
4
+β)=-
12
13
,
∴sin(
π
4
+β)=
12
13
,
∴cos(
π
4
+β)=
5
13
,
由(
π
4
+β)-(
π
4
-α)=α+β,得
cos(α+β)=cos[(
π
4
+β)-(
π
4
-α)]
=cos(
π
4
+β)cos(
π
4
-α)+sin(
π
4
+β)sin(
π
4
-α)
=
5
13
×
3
5
+
12
13
×(-
4
5
)
=-
33
65
.
【例2】解:原式=
(2cos
?
2
??
2
+2sin
??
2
cos
??
2
)(sin
??
2
-cos
??
2
)
4cos
?
2
??
2
=
2cos
??
2
(cos
??
2
+sin
??
2
)(sin
??
2
-cos
??
2
)
2|cos
??
2
|
=
cos
??
2
(sin
?
2
??
2
-cos
?
2
??
2
)
|cos
??
2
|
=
-cos
??
2
·cos??
|cos
??
2
|
,
∵π<α<2π,∴
π
2
<
??
2
<π,∴cos
??
2
<0,
∴原式=
-cos
??
2
·cos??
-cos
??
2
=cos α.
【例3】证明:证法一:右边=
1-
sin??
cos??
1+
sin??
cos??
=
cos??-sin??
cos??+sin??
=
(cos??-sin??
)
2
(cos??-sin??)(cos??+sin??)
=
cos
?
2
x+sin
?
2
x-2sin??cos??
cos
?
2
x-sin
?
2
x
=
1-2sin??cos??
cos
?
2
x-sin
?
2
x
=左边,
∴原命题成立.
证法二:左边=
sin
?
2
x+cos
?
2
x-2sin??cos??
cos
?
2
x-sin
?
2
x
=
(cos??-sin??
)
2
cos
?
2
x-sin
?
2
x
=
cos??-sin??
cos??+sin??
=
1-tan??
1+tan??
=右边,
∴原命题成立.
证明三:左边-右边=
(cos??-sin??
)
2
cos
?
2
x-sin
?
2
x
?
1-tan??
1+tan??
=
cos??-sin??
cos??+sin??
?
1-tan??
1+tan??
=
1-tan??
1+tan??
?
1-tan??
1+tan??
=0,
∴左边=右边,
∴原式成立.
【例4】解:(1)∵
????
·
????
=2cos x,|
????
||
????
|=1+cos 2x,
∴cos θ=
????
·
????
|
????
||
????
|
=
2cos??
1+cos
?
2
x
.
(2)cos θ=f(x)=
2cos??
1+cos
?
2
x
=
2
cos??+
1
cos??
,
∵x∈[-
π
4
,
π
4
],∴cos x∈[
2
2
,1],
又∵2≤cos x+
1
cos??
≤
3
2
2
,
∴
2
2
3
≤f(x)≤1,即
2
2
3
≤cos θ≤1,
∴cos θmin=
2
2
3
,cos θmax=1.
【例5】解:f(x)=sin xcos x-
3
sin 2x+
3
2
=
1
2
sin 2x-
3
·
1-cos2??
2
+
3
2
=
1
2
sin 2x+
3
2
cos 2x
=sin(2x+
π
3
).
(1)f(
π
12
)=sin(
π
6
+
π
3
)=sin
π
2
=1;T=
2π
2
=π.
(2)根据题意得到-
π
4
≤x≤
π
4
,则-
π
2
≤2x≤
π
2
,-
π
6
≤2x+
π
3
≤
5π
6
,
由图可知,-
1
2
≤sin(2x+
π
3
)≤1,
/
故函数f(x)在[-
π
4
,
π
4
]上的值域为[-
1
2
,1].
(3)单调递增区间:-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ(整体法求解),
即[-
5π
12
+kπ,
π
12
+kπ](k∈Z).
单调递减区间:
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
3π
2
+2kπ,
即[
π
12
+kπ,
7π
12
+kπ](k∈Z).
(4)对称轴:2x+
π
3
=
π
2
+kπ,即x=
π
12
+
??π
2
(k∈Z);
对称中心:2x+
π
3
=kπ,即x=-
π
6
+
??π
2
,对称中心为(-
π
6
+
??π
2
,0)(k∈Z).
三、章末巩固
(一)选择题
1.D　2.A　3.B　4.D　5.A　6.D　7.D　8.C　9.A　10.B　11.D　12.C
(二)填空题
13.-
47
81
14.π
15.
3
(1+a)
16.
2
sin??
(三)解答题
17.解:原式=
sin70°
cos70°
·cos 10°(
3
sin20°
cos20°
-1)
=
3
cos 10°-cos 10°·
sin70°
cos70°
=
3
cos 10°-
cos10°·cos20°
2sin10°·cos10°
=
3
sin20°-cos20°
2sin10°
=
sin20·cos30°-cos20°·sin30°
sin10°
=
sin(20°-30°)
sin10°
=-1.
18.解:f(x)=
1-cos2??
2
+
3
2
sin 2x+
1
2
=
3
2
sin 2x-
1
2
cos 2x+1
=sin(2x-
π
6
)+1.
(1)T=
2π
??
=
2π
2
=π.
(2)当2x-
π
6
=2kπ+
π
2
(k∈Z),
即x∈{x|x=kπ+
π
3
,k∈Z}时,f(x)max=2;
当2x-
π
6
=2kπ-
π
2
(k∈Z)
即x∈{x|x=kπ-
π
6
,k∈Z}时,f(x)min=0.
(3)当2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
即kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z)时,f(x)单调递增.
当2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3π
2
(k∈Z),
即kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5π
6
(k∈Z)时,f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z);
f(x)的单调递减区间为[kπ+
π
3
,kπ+
5
6
π](k∈Z).
19.解:方法一:∵cos(
π
4
+π)=
3
5
,
17π
12
7π
4
,
∴
3π
5
<
π
4
+x<2π,则sin(
π
4
+x)=-
4
5
,
从而cos x=cos[(
π
4
+x)-
π
4
]
=cos(
π
4
+x)cos
π
4
+sin(
π
4
+x)sin
π
4
=
3
5
×
2
2
+(-
4
5
)×
2
2
=-
2
10
.
∴sin x=-
1-cos
?
2
x
=-
7
2
10
,tan x=7.
故原式=
2sin??cos??+2sin
?
2
x
1-tan??
=
2×(-
7
2
10
)×(-
2
10
)+2×(-
7
2
10
)
2
1-7
=-
28
75
.
方法二:原式=
2sin??cos??+2sin
?
2
x
1-tan??
=
2sin??cos??(1+tan??)
1-tan??
=sin 2xtan(
π
4
+x),
∵
17
12
π7π
4
,
∴
5π
3
<
π
4
+x<2π,
又cos(
π
4
+x)=
3
5
,
∴sin(
π
4
+x)=-
4
5
,
即tan(
π
4
+x)=-
4
3
,
则sin 2x=sin[2(
π
4
+x)-
π
2
]=-cos 2(
π
4
+x)
=-[2cos 2(
π
4
+x)-1]=
7
25
,
故原式=
7
25
×(-
4
3
)=-
28
75
.
20.证明:证法一:由已知3sin 2α+2sin 2β=1,
3sin 2α-2sin 2β=0,
∴3sin2α=1-2sin 2β=cos 2β,
sin 2β=
3
2
sin 2α=3sin αcos α,
cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β
=cos α·3sin2α-sin α·3sin αcos α
=0,
∵α,β为锐角,
∴0<α+2β<
3π
2
,∴α+2β=
π
2
.
证法二:由已知条件得:
3sin2α=cos 2β　①
3sin αcos α=sin 2β　②
①÷②得
sin??
cos??
=
cos2??
sin2??
,
即sin αsin 2β-cos αcos 2β=0,
∴cos(α+2β)=0,
又∵α,β为锐角,
∴α+2β=
π
2
.