数学高中人教A版必修4学案：第一章三角函数Word版含解析

第一章　三角函数
本章小结
学习目标
1.任意角的概念与弧度制;任意角三角函数的定义;
2.同角三角函数的关系、诱导公式;
3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质;
4.函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义;函数y=Asin(ωx+φ)图象的变换;
5.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.
学习过程
复习回顾本章知识
一、同角三角函数基本关系式的运用
【例1】若tanα=2,求:
(1)sinα+cosαcosα-sinα的值;
(2)2sin2α-sinαcosα+cos2α的值.
【例2】若sinθcosθ=18,θ∈(π4,π2),求cosθ-sinθ的值.
【例3】已知f(α)=sin(π2-α)cos(2π-α)tan(-α+3π)tan(π+α)sin(π2+α).
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限的角,且cos(α-3π2)=15,求f(α)的值;
(3)若α=-1860°,求f(α)的值.
二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
【例4】求下列函数的定义域:
(1)f(x)=3-tanx;(2)f(x)=tan(sin x);
(3)f(x)=2cosx-1lg(tanx+1).
【例5】求下列函数的周期:
(1)y=sin2x+sin(2x+π3)cos2x+cos(2x+π3);(2)y=2sin(x-π2)sin x;(3)y=cos4x+sin4xcos4x-sin4x.
【例6】已知函数f(x)=3sin(2x-π6)+2sin2(x-π12)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【例7】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin2x-tan x;(2)f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx;
(3)f(x)=cos(sin x);(4)f(x)=lgcosx.
【例8】已知函数f(x)=log12(sin x-cos x).
(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.
【例9】已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,x∈R.求:
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;
(2)函数f(x)的单调增区间.
三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
【例10】已知函数f(x)=2cos2ωx+3sin2ωx(其中0<ω<1),若直线x=π3为其一条对称轴.
(1)试求ω的值;
(2)作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.
【例11】已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2),且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).
(1)求φ;
(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2014).
【例12】设函数f(x)=3cos2ωx+sinωxcosωx+a(其中ω>0,a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6.
(1)求ω的值;
(2)如果f(x)在区间[-π3,5π6]上的最小值为3,求a的值.
四、三角函数的运用
【例13】某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据:
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinωx+b的图象.
(1)试根据以上数据,求出函数y=f(t)的近似表达式;
(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?
【例14】如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米?
【例15】如图,ABCD是一块边长为100米的正方形地皮,其中扇形ATPS是一半径为90米的扇形小山,P是弧TS上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值.
【例16】将一块圆心角为120°、半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.
课堂小结
主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质,这是本章的核心知识点,主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想.
拓展提升
1.若sinθ=-35,cosθ=45,则角2θ的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知sinθ=k-1,cosθ=4-3k,且θ是第二象限角,则k应满足的条件是(　　)
A.k>43 B.k=1 C.k=85 D.k>1
3.已知1+sinxcosx=-12,那么cosxsinx-1的值是(　　)
A.12 B.-12 C.2 D.-2
4.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是(　　)
①最小正周期是π;②图象关于点(π6,0)对称
A.y=cos(2x-π6) B.y=sin(2x+π6)
C.y=sin(x2+π6) D.y=tan(x+π3)
5.为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是(　　)
A.98π B.1972π C.1992π D.100π
6.函数f(x)=cos2x+sin x在区间[-π4,π4]上的最小值是(　　)
A.2-12 B.-1+22
C.-1 D.1-22
7.函数f(x)=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)的图象关于原点对称的充要条件是(　　)
A.φ=2kπ-π6,k∈Z B.φ=kπ-π6,k∈Z
C.φ=2kπ-π3,k∈Z D.φ=kπ-π3,k∈Z
8.在△ABC中,C>π2,若函数y=f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是(　　)
A.f(cos A)>f(cos B) B.f(sin A)>f(sin B)
C.f(sin A)>f(cos B) D.f(sin A)9.同时具有性质“(1)最小正周期是π;(2)图象关于直线x=π3对称;(3)在[-π6,π3]上是增函数”的一个函数是(　　)
A.y=sin(x2+π6) B.y=cos(2x+π3)
C.y=cos(2x-π6) D.y=sin(2x-π6)
10.若把一个函数的图象按a=(-π3,-2)平移后得到函数y=cos x的图象,则原图象的函数解析式是(　　)
A.y=cos(x+π3)-2 B.y=cos(x-π3)-2
C.y=cos(x+π3)+2 D.y=cos(x-π3)+2
11.为了得到函数y=sin(2x-π6)的图象,可以将函数y=cos2x的图象(　　)
A.向右平移π6个单位长度 B.向右平移π3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度 D.向左平移π3个单位长度
12.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图所示,则ω和φ的取值是(　　)
A.ω=1,φ=π3 B.ω=1,φ=-π3
C.ω=12,φ=π6 D.ω=12,φ=-π6
13.若函数f(x)图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位长度,向下平移3个单位长度,恰好得到y=12sin x的图象,则f(x)=　　　　.?
14.函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)为奇函数的充要条件是　　　　　;为偶函数的充要条件是　　　　　.?
15.一正弦曲线的一个最高点为(14,3),从相邻的最低点到这最高点的图象交x轴于(-14,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为　　　　.?
16.已知方程sin x+cos x=k在0≤x≤π上有两解,求k的取值范围.
17.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最小值是-2,其图象相邻最高点与最低点横坐标的差是3π,又图象过点(0,1),求函数解析式.
18.已知函数f(x)=Asinωx+Bcosωx(A,B,ω是实常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=13时,f(x)max=2.
(1)求f(x).
(2)在闭区间[214,234]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.
参考答案
一、同角三角函数基本关系式的运用
【例1】解:(1)sinα+cosαcosα-sinα=1+tanα1-tanα=1+21-2=-3-22;
(2)原式=2sin2α-sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tan2α-tanα+1tan2α+1=4-2+13=5-23.
【例2】解:(cosθ-sinθ)2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-14=34,
∵θ∈(π4,π2),∴cosθ【例3】解:(1)f(α)=cosαcosα(-tanα)tanαcosα=-cosα.
(2)∵cos(α-3π2)=-sinα,
∴sinα=-15,又α是第三象限的角,
∴cosα=-1-sin2θ=-1-125=-256,
∴f(α)=256.
(3)∵α=-1860°=-6×360°+300°,
∴f(α)=f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-6×360°+300°)=-cos60°=-12.
二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
【例4】解:(1)由3-tan x≥0,得tan x≤3,∴kπ-π2∴f(x)的定义域为(kπ-π2,kπ+π3](k∈Z).
(2)∵-π2<-1≤sin x≤1<π2,∴x∈R.即f(x)的定义域为R.
(3)由已知2cosx-1≥0,lg(tanx+1)≠0,tanx+1>0,x≠kπ+π2(k∈Z),得cosx≥12,tanx≠0,tanx>-1,x≠kπ+π2(k∈Z).
∴2kπ-π3≤x≤2kπ+π3,x≠kπ,kπ-π4∴原函数的定义域为(2kπ-π4,2kπ)∪(2kπ,2kπ+π3)(k∈Z).
【例5】解:(1)y=sin2x+12sin2x+32cos2xcos2x+12cos2x-32sin2x=3sin(2x+π6)3cos(2x+π6)=tan(2x+π6),
∴周期T=π2.
(2)y=-2sin xcos x=-sin2x,故周期T=π.
(3)y=1+tan4x1-tan4x=tan(4x+π4),故周期T=π4.
【例6】解:(1)f(x)=3sin(2x-π6)+1-cos2(x-π12)
=2[32sin2(x-π12)-12cos2(x-π12)]+1
=2sin[2(x-π12)-π6]+1
=2sin(2x-π3)+1,
∴T=2π2=π.
(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-π3)=1,有2x-π3=2kπ+π2.
即x=kπ+5π12(k∈Z).
故所求x的集合为{x|x∈R,x=kπ+5π12,k∈Z}.
【例7】解:(1)∵f(x)的定义域为x≠kπ+π2(k∈Z),故其定义域关于原点对称,
又f(-x)=sin(-2x)-tan(-x)=-sin2x+tan x=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵x=π2时,1+sin x+cos x=2,而x=-π2时,1+sin x+cos x=0,
∴f(x)的定义域不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数.
(3)∵f(x)的定义域为R,又f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(sin x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(4)由lgcos x≥0得cos x≥1,又cos x≤1,∴cos x=1,故此函数的定义域为x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0.
∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
【例8】解:(1)由sin x-cos x>0?2sin(x-π4)>0,
∴2kπ∴定义域为(2kπ+π4,2kπ+5π4)(k∈Z).
∵2sin(x-π4)∈(0,2],∴值域为[-12,+∞).
(2)∵定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数.
(3)∵sin x-cos x=2sin(x-π4)>0,
∴f(x)的递增区间为[2kπ+3π4,2kπ+5π4)(k∈Z),
递减区间为(2kπ+π4,2kπ+3π4](k∈Z).
(4)∵f(x+2π)=log12in(x+2π)-cos(x+2π)]=log12(sin x-cos x)=f(x),
∴f(x)是周期函数,最小正周期T=2π.
【例9】解:(1)f(x)=1-cos2x2+sin2x+3(1+cos2x)2=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+π4),
∴当2x+π4=2kπ+π2,即x=kπ+π8(k∈Z)时,f(x)取得最大值2+2.
函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为{x|x∈R,x=kπ+π8(k∈Z)}.
(2)f(x)=2+2sin(2x+π4).
由题意得:2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),
即:kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).
因此函数f(x)的单调增区间为[kπ-3π8,kπ+π8](k∈Z).
三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
【例10】解:(1)f(x)=2cos2ωx+3sin2ωx=1+cos2ωx+3sin2ωx=2sin(2ωx+π6)+1.
∵x=π3是y=f(x)的一条对称轴,
∴sin(2ωπ3+π6)=±1.
∴2ωπ3+π6=kπ+π2,k∈Z,∴ω=12+32k(k∈Z).
∵0<ω<1,∴ω=12.
(2)用五点作图(略)
【例11】解:(1)y=Asin2(ωx+φ)=A2?A2cos(2ωx+2φ).∵y=f(x)的最大值为2,A>0.
∴A2+A2=2,A=2.
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0,
∴12(2π2ω)=2,ω=π4.
∴f(x)=22?22cos(π2x+2φ)=1-cos(π2x+2φ).
∵y=f(x)过(1,2)点,
∴cos(π2+2φ)=-1.
∴π2+2φ=2kπ+π,k∈Z,∴2φ=2kπ+π2,k∈Z,
∴φ=kπ+π4,k∈Z,又∵0<φ<π2,∴φ=π4.
(2)∵φ=π4,∴y=1-cos(π2x+π2)=1+sinπ2x.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.
又∵y=f(x)的周期为4,2014=4×503+2,
∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=4×503+f(2013)+f(2014)=2012+2+1=2015.
【例12】解:(1)f(x)=32cos2ωx+12sin2ωx+32+a=sin(2ωx+π3)+32+a.
依题意得2ω·π6+π3=π2?ω=12.
(2)由(1)知,f(x)=sin(x+π3)+32+a.又当x∈[-π3,5π6]时,
x+π3∈[0,7π6],故-12≤sin(x+π3)≤1,从而f(x)在区间[-π3,5π6]上的最小值为3=-12+32+a,故a=3+12.
四、三角函数的运用
【例13】解:(1)由已知数据,易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,
∴y=3sinπ6t+10.
(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米.
∴3sinπ6t+10≥11.5,∴sinπ6t≥12,解得:2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6(k∈Z),12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取k=0或k=1,∴1≤t≤5,或13≤t≤17.
∴该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时.
【例14】解:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设摩天轮上某人在Q处,则在t秒内OQ转过的角为2π20t,所以t秒时,Q点的纵坐标为2π20t,故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sinπ10t+12(米).
(2)令y=10sinπ10t+12≤10,则sinπ10t≤-15.
∵0≤t≤20,∴10.64≤t≤19.36,故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.
【例15】解:如图,连接AP,设∠PAB=θ(0°<θ<90°),延长RP交AB于M,
则AM=90cosθ,MP=90sinθ,PQ=MB=AB-AM=100-90cosθ,
PR=MR-MP=100-90sinθ,
故矩形PQCR的面积
S=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)
=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.
设sinθ+cosθ=t(1∴S=81002(t-109)2+950,
故当t=109时,Smin=950(m2).
当t=2时,Smax=14050-90002(m2).
【例16】解:按图(1)的裁法:矩形的一边OP在OA上,顶点M在圆弧上,设∠MOA=θ,则
MP=20sinθ,OP=20cosθ,所以矩形OPMN的面积
S=400sinθcosθ=200sin2θ,即当θ=π4时,Smax=200.
按图(2)的裁法:矩形一边PQ与弦AB平行,
设∠MOQ=α,在△MOQ中,
∠OQM=90°+30°=120°,
由正弦定理得:MQ=20sinαsin120°=4033sinα.
又∵MN=2OMsin(60°-α)=40sin(60°-α),
∴S=MQ·MN=160033sinαsin(60°-α)
=160033sinα(32cosα-12sinα)
=160033(34sin2α-1-cos2α4)
=80033sin(2α+30°)-40033.
∴当α=30°时,Smax=40033.
由于40033>200,所以用第二种裁法得到面积最大的矩形,最大面积为40033cm2.
拓展提升
1.D　解析:由sin2θ=2sinθcosθ=-2425<0,
cos2θ=cos2θ-sin2θ=725>0可得角2θ的终边在第四象限.
2.C　解析:由sinθ>0,cosθ<0及sin2θ+cos2θ=1可得k=85.
3.A　解析:1+sinxcosx·sinx-1cosx=sin2x-1cos2x=-1.
4.D
5.B　解析:4914·T≤1,即1974·2πω≤1,∴ω≥197π2.
6.D　解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-(sin x-12)2+54,当x=-π4时,f(x)取最小值.
7.D　解析:f(x)=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+π3),令φ+π3=kπ可得.
8.C　解析:根据09.D　解析:由性质(1)和(2)可排除A,C两项,再求出y=sin(2x-π6)的增区间即可.
10.D　解析:将函数y=cos x的图象按-a平移可得原图象的函数解析式.
11.B　解析:∵y=sin(2x-π6)=cos[π2-(2x-π6)]=cos(2π3-2x)=cos(2x-2π3)=cos[2(x-π3)],∴将函数y=cos2x的图象向右平移π3个单位长度.
12.C　解析:由图象知,T=4(2π3+π3)=4π=2πω,
∴ω=12.又当x=2π3时,y=1,则sin(12×2π3+φ)=1,π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,当k=0时,φ=π6.
13.12cos2x+3
14.φ=kπ(k∈Z)　φ=kπ+π2(k∈Z)
15.y=3sin(πx+π4)
16.解:原方程sin x+cos x=k?2sin(x+π4)=k,在同一坐标系内作函数y1=2sin(x+π4)与y2=k的图象.对于y=2sin(x+π4),令x=0,得y=1.
∴当k∈[1,2)时,观察知两曲线在[0,π]上有两交点,方程有两解.
17.解:易知:A=2,半周期T2=3π,∴T=6π,即2πω=6π,从而ω=13.
设y=2sin(13x+φ),令x=0,有2sinφ=1.
又|φ|<π2,∴φ=π6.
故所求函数解析式为y=2sin(13x+π6).
18.解:(1)由T=2πω=2,得ω=π,
∴f(x)=Asinπx+Bcosπx.
由题意可得Asinπ3+Bcosπ3=2,A2+B2=2.解得A=3,B=1.
∴f(x)=3sinπx+cosπx=2sin(πx+π6).
(2)令πx+π6=π2+kπ,k∈Z,所以x=13+k,k∈Z.
由214≤13+k≤234得5912≤k≤6512,
故k=5,在[214,234]上只有f(x)的一条对称轴x=163.