数学高中人教版A必修5学案：1.2应用举例第四课时Word版含解析

第一章　解三角形
1.2　应用举例
1.2　应用举例(第4课时)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题.
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
3.进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创新能力;进一步提升研究问题和发现问题的能力,在探究中体验成功的愉悦.
4.在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,做到不拘一格,一题多解.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式.在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc,那么如何用已知边和角表示它们?
问题2:根据以前学过的三角形面积公式S=
1
2
ah,应用以上求出的高的公式如ha=bsin C代入,可以推导出下面的三角形面积公式:S=
1
2
absin C,大家能推出其他的几个公式吗?
二、信息交流,揭示规律
问题3:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件也可求出三角形的面积?
三、运用规律,解决问题
【例1】在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm2).
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到0.1m2)
四、变式训练,深化提高
【例3】在△ABC中,求证:
(1)
??
2
+
??
2
??
2
=
si
n
2
A+si
n
2
B
si
n
2
C
;
(2)a2+b2+c2=2(bccos A+cacos B+abcos C).
五、限时训练
1.已知在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,那么cos C的值为(　　)
A.-
1
4
B.
1
4
C.-
2
3
D.
2
3
2.在△ABC中,A=120°,b=1,面积为
3
,则
??+??+??
sin??+sin??+sin??
等于(　　)
A.
2
39
3
B.
39
3
C.2
7
D.4
7
3.等腰三角形顶角的余弦值为
7
25
,则底角的正弦值为　　　　.?
4.在△ABC中,已知a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦值是
3
2
,则面积S=　　　　.?
5.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
六、反思小结,观点提炼
求三角形面积的公式:
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:ha=bsin C=csin B,hb=csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.
问题2:同理,可得S=
1
2
bcsin A,S=
1
2
acsin B.
二、信息交流,揭示规律
问题3:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)应用S=
1
2
acsin B,得S=
1
2
×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).
(2)根据正弦定理,
??
sin??
=
??
sin??
,c=
??sin??
sin??
,
S=
1
2
bcsin A=
1
2
b2
sin??sin??
sin??
.
A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°,
S=
1
2
×3.162×
sin65.8°sin51.5°
sin62.7°
≈4.0(cm2).
(3)根据余弦定理的推论,得cos B=
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=
38.
7
2
+41.
4
2
-27.
3
2
2×38.7×41.4
≈0.7697,
sin B=
1-co
s
2
B
≈
1-0.769
7
2
≈0.6384,
应用S=
1
2
acsin B,得S≈
1
2
×41.4×38.7×0.6384≈511.4(cm2).
【例2】解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,
cos B=
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=
12
7
2
+6
8
2
-8
8
2
2×127×68
≈0.7532,
sin B=
1-0.753
2
2
≈0.6578,
应用S=
1
2
acsin B,S=
1
2
×68×127×0.6578≈2840.4(m2).
答:这个区域的面积是2840.4m2.
四、变式训练,深化提高
【例3】证明:(1)根据正弦定理,可设
??
sin??
=
??
sin??
=
??
sin??
=k,
显然k≠0,所以左边=
??
2
+
??
2
??
2
=
??
2
si
n
2
A+
??
2
si
n
2
B
??
2
si
n
2
C
=
si
n
2
A+si
n
2
B
si
n
2
C
=右边.
(2)根据余弦定理的推论,
右边=2
????
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
+ca
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
+ab
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.
五、限时训练
1.A　2.C　3.
4
5
　4.
15
3
4
5.分析:把四边形ABCD的面积转化为△ABD与△BCD的面积和.
/
解:如图,在圆内接四边形ABCD中,连接BD,
因为A+C=180°,所以sin A=sin C,
于是,四边形ABCD的面积为
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=
1
2
(AB·AD+BC·CD)sin A=
1
2
×(2×4+6×4)sin A=16sin A,
在△ABD与△BCD中,由余弦定理得
20-16cos A=52-48cos C,
又∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,cos A=-
1
2
,∴A=120°.
将A=120°代入S四边形ABCD=16sin A,得S四边形ABCD=16×sin120°=16×
3
2
=8
3
.
六、反思小结,观点提炼
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.