数学高中人教版A必修5学案：1.2应用举例第一课时Word版含解析

第一章　解三角形
1.2　应用举例
1.2　应用举例(第1课时)
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学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常用的测量相关术语.
2.体会数学的应用价值;同时提升运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:在日常生活和工农业生产中,为了达到某种目的,常常想测得一个点与另一个不可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间的距离,这样的想法能实现吗?如何实现呢?
例如:一个世代被大山阻隔的小山村,在无法承载贫穷重负和生命重压之下,毅然决然以一己之力,用比较落后的方式,开始了一段长达五年的艰难的开山之旅.他们经历了令人难以想象的风险,终于打通了一条长400米的隧道,从而大大拉近了闭塞小山村与现代大都市的时代距离.试思考,在隧道未打通之前,我们如何测量小山村与大都市的距离?
二、信息交流,揭示规律
学习了正弦定理、余弦定理后,上述所提的问题是能够实现的.有时由于条件所限,需要测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时,一般作法是在河这边或主航道上发生一段位移,从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度,从而通过计算得出答案.该作法只将实际问题转化为一个数学问题:已知一个三角形的两角及夹边,要求这个三角形的其中一边,显然只要根据正弦定理,就可以达到目的.
例如:当我们想在河这边测出河对面两点之间距离的时候,往往可以这样做:在河这边的两个不同的地点分别测出望河对面两点及另一地点的视角,再结合这两个地点之间的距离,通过应用正弦定理、余弦定理计算求得河对面两点之间的距离.
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确作出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.
三、运用规律,解决问题
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【例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,∠BAC=51°,∠ACB=75°.求A,B两点的距离(精确到0.1m).
问题1:在△ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较恰当?
问题2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢?请学生回答.
四、变式训练,深化提高
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【例2】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.
五、限时训练
1.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°视角,则B,C间的距离是(　　)
A.10
3
海里 B.
10
6
3
海里
C.5
2
海里 D.5
6
海里
2.某人朝正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好
3
km,那么x的值为　　　　.?
/
3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在点A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为　　　　m.?
4.为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A和B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的宽度.
六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:
参考答案/
一、略
二、略
三、运用规律,解决问题
【例1】解:根据正弦定理,得
????
sin∠??????
=
????
sin∠??????
,
AB=
????sin∠??????
sin∠??????
=
55sin∠??????
sin∠??????
=
55sin75°
sin(180°-51°-75°)
=
55sin75°
sin54°
≈65.7(m).
答:A,B两点间的距离为65.7米.
问题1:从题中可以知道角A和角C,所以角B就可以知道,又因为AC可以量出来,所以应该用正弦定理.
问题2:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边.
四、变式训练,深化提高
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【例2】解:测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,并且在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得
AC=
??sin(??+??)
sin[180°-(??+??+??)]
=
??sin(??+??)
sin(??+??+??)
,
BC=
??sin??
sin[180°-(??+??+??)]
=
??sin??
sin(??+??+??)
.
计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离
AB=
??
??
2
+B
??
2
-2AC·BCcos??
.
五、限时训练
1.D　2.
3
或2
3
　3.50
2
/
4.解:如图,在△ABC中,由已知,可得
AC=
????·sin??
sin??
=
120sin75°
sin60°
=20(3
2
+
6
)(m),
设C到AB的距离为CD,CD=
2
2
AC=20(
3
+3)(m),
所以河的宽度为20(
3
+3)m.
六、反思小结,观点提炼
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.