数学高中人教版A必修5学案：2.4等比数列（第2课时）Word版含解析

第二章　数列
2.4　等比数列
2.4　等比数列(第2课时)
学习目标
灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情境
首先回忆一下上一节课所学主要内容:
1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即:　　　　.?
2.等比数列的通项公式:　　　　　　　　　　　　　　.?
二、信息交流,揭示规律
1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G=±ab(a,b同号).
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则　　　　　　　　　　,反之,若G2=ab,则Ga=bG,即a,G,b成等比数列.?
(1)在等比数列{an}中,是否有an2=an-1an+1(n≥2)?
(2)如果数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有an2=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗?
分析:(1)由{an}是等比数列,知anan-1=an+1an,所以有an2=an-1an+1(n≥2);
(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有an2=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an}中的每一项均不为零,且an2=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立.
2.几个性质
(1)已知a1,a2,a3,…,an是公比为q的等比数列,新数列an,an-1,…,a2,a1也是等比数列吗?
分析:由等比数列的定义可得a2a1=a3a2=…=anan-1=q.
所以an-1an=…=a2a3=a1a2=1q,由此可以看出an,an-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于1q,所以是首项为　　　　,公比为　　　　的等比数列.?
(2)已知无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
①依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?
②数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?
分析:①由an+1an=q,得an+1=anq,
a3=a2q=a1q2,所以a3a1=q2;a5=a4q=a3q2,所以a5a3=q2;以此类推,可得,a2n+1a2n-1=a2n-1q2a2n-1=q2,所以数列{an}的所有奇数项组成的数列是首项为　　　　,公比为　　　　的等比数列.?
②因为ca2ca1=ca3ca2=…=cancan-1=q,
所以数列{can}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.
(3)已知数列{an}是等比数列.
①a52=a3a7是否成立?a52=a1a9成立吗?
②an2=an-1an+1(n>1)是否成立?
③an2=an-kan+k(n>k>0)是否成立?
④在等比数列中,m+n=p+k,am,an,ap,ak有什么关系呢?
分析:①设数列{an}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,
a7=a1q6,a52=a12q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=a12q8,
所以a52=a3a7,同理a52=a1a9.
②an2=an-1an+1(n>1)成立.
③an2=an-kan+k(n>k>0)成立.
④由等比数列定义,得am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,
am·an=a12qm+n-2,ap·ak=a12qp+k-2,则aman=apak.
结论:若m+n=p+k,则　　　　　　　.?
三、运用规律,解决问题
【例1】等比数列{an}中,
(1)已知a2=4,a5=-12,求数列{an}的通项公式;
(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.
【例2】如果数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,那么{an·bn}也是等比数列.
【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.
【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:等比数列{an}中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11=　　　　　　.?
变式训练2:等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,则an=　　　　　.?
变式训练3:已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　　　　.?
变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.anan-1=q(q≠0)
2.an=a1·qn-1(a1·q≠0),an=am·qn-m(am·q≠0)
二、信息交流,揭示规律
1.Ga=bG?G2=ab?G=±ab
2.(1)an　1q
(2)①a1　q2
(3)aman=apak(m,n,p,k∈N*)
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-12.
∴an=a2qn-2=4×-12n-2=-12n-4.
(2)∵a3a5=a42,a3a4a5=a43=8,
∴a4=2.
又∵a2a6=a3a5=a42,
∴a2a3a4a5a6=a45=32.
【例2】解:设数列{an}的首项是a1,公比为q1;数列{bn}的首项为b1,公比为q2,那么数列{an·bn}的第n项与第n+1项分别为a1·q1n-1·b1·q2n-1与a1·q1n·b1·q2n,即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1·(q1q2)n,
因为an+1·bn+1an·bn=a1b1(q1q2)na1b1(q1q2)n-1=q1q2,
它是一个与n无关的常数,所以{an·bn}是一个以a1b1为首项,以q1q2为公比的等比数列.
【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,
∴ab=bc=cd,
∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,
∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2
=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)
=a2-2ad+d2
=(a-d)2=右边.
证毕.
法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,
则b=aq,c=aq2,d=aq3,
∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2
=a2-2a2q3+a2q6
=(a-aq3)2,
=(a-d)2=右边
证毕.
【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有
b2=(b-d+1)(b+d),　①b2=(b-d)(b+d+2),　②
整理,得
b2=b2-d2+b+d,b2=b2-d2+2b-2d,
所以b+d=2b-2d,即b=3d,
代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),
9d2=(2d+1)·4d,
解之,得d=4或d=0(舍d=0),
所以b=12.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:解析:因为a7·a12=a8·a11=a9·a10,又a7·a12=5,所以a8·a9·a10·a11=5×5=25.
答案:25
变式训练2:解析:由a1·a2·a3=8得a23=8,于是a2=2所以a1·a3=4,　①
由a1+a2+a3=7得a1+a3=5,　②
由①②解得a1=1,a3=4或a1=4,a3=1,
当a1=1,a3=4时,q=a2a1=2,an=2n-1,
当a1=4,a3=1时,q=a2a1=12,an=4×12n-1=23-n.
答案:2n-1或23-n
变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=a32,a4a6=a5a5=a52,
所以a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25.
又an>0,所以a3+a5=5.
答案:5
变式训练4:解:设这三个数为aq,a,aq,由题意aq+a+aq=14,aq·a·aq=64,解得a=4,q=2或a=4,q=12,
于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.
五、反思小结,观点提炼
略