数学高中人教版A必修5学案：2.5等比数列的前n项和（第1课时）Word版含解析

第二章　数列
2.5　等比数列的前n项和
2.5　等比数列的前n项和(第1课时)
学习目标
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前n项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏.
国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”
国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.
计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,…,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?
每个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.即求　　　　　　　,怎么计算??
二、信息交流,揭示规律
如何求数列1,2,4,…262,263各项的和?
以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:
S64=1+2+4+8+…+262+263　①
用公比2乘以①的两边,得
2S64=2+4+8+16+…+263+264　②
由②-①可得:S64=264-1.
这种求和方法称为　　　　　　　,它是研究数列求和的一个重要方法.?
等比数列的前n项和公式:
当q≠1时,Sn=
??
1
(1-
??
??
)
1-??
　①　或Sn=
??
1
-
??
??
q
1-??
　②
当q=1时,Sn=na1
公式的推导方法一:
一般地,设等比数列a1,a2,a3,…,an,…它的前n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an,
由
??
??
=
??
1
+
??
2
+
??
3
+…+
??
??
,
??
??
=
??
1
??
??-1
,
得
??
??
=
??
1
+
??
1
q+
??
1
??
2
+…+
??
1
??
??-2
+
??
1
??
??-1
,
??
??
??
=
??
1
q+
??
1
??
2
+
??
1
??
3
+…+
??
1
??
??-1
+
??
1
??
??
,
所以(1-q)Sn=a1-a1qn.
所以当q≠1时,　　　　　　　　　?
当q=1时,　　　　　　　　　?
公式的推导方法二:
Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+a3+…+an-1)
=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
?(1-q)Sn=a1-anq(结论同上).
现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?
国王承诺奖赏的麦粒数为
S64=
1×(1-
2
64
)
1-2
=264-1≈1.84×1019,
据测量,一般一千粒麦子重约为40g,则这些麦子的总质量约为7.36×1017g,约合7360亿吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?
三、运用规律,解决问题
【例1】求下列等比数列前8项的和.
(1)
1
2
,
1
4
,
1
8
,….
(2)a1=27,a9=
1
243
,q<0.
【例2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果取整数)?
四、变式训练,深化提高
已知等比数列{an}满足a3=12,a8=
3
8
,记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若Sn=93,求n.
五、反思小结,观点提炼
参考答案/
一、设计问题,创设情境
S64=1+2+4+8+…+262+263
二、信息交流,揭示规律
“错位相减法”　
??
??
=
??
1
(1-
??
??
)
1-??
或
??
??
=
??
1
-
??
??
q
1-??
　Sn=na1
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)因为a1=
1
2
,q=
1
2
,所以当n=8时,Sn=
1
2
1-
1
2
8
1-
1
2
=
255
256
.
(2)由a1=27,a9=
1
243
,可得
1
243
=27·q3.又由q<0,可得q=-
1
3
.
于是当n=8时,S8=
27
1-
-
1
3
8
1-
-
1
3
=
1640
81
.
【例2】分析:第1年销售量为5000台.
第2年销售量为5000×(1+10%)=5000×1.1(台).
第3年销售量为5000×(1+10%)×(1+10%)
=5000×1.12(台).
……
第n年销售量为5000×1.1n-1台.
则n年内的总销售量为(5000+5000×1.1+5000×1.12+…+5000×1.1n-1)(台).
解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组成一个等比数列{an},其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.
于是得到:
5000(1-1.
1
??
)
1-1.1
=30000.
整理,得1.1n=1.6.
两边取常用对数,得lg1.1n=lg1.6,即nlg1.1=lg1.6.
用计算器算得
n=
lg1.6
lg1.1
≈5(年).
答:大约5年可以使总销售量达到30000台.
四、变式训练,深化提高
解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则
??
3
=
??
1
??
2
=12,
??
8
=
??
1
??
7
=
3
8
,
解得
??
1
=48,
??=
1
2
,
所以an=a1qn-1=48·
1
2
??-1
.
(2)Sn=
??
1
(1-
??
??
)
1-??
=
48
1-
1
2
??
1-
1
2
=96
1-
1
2
??
,
由Sn=93,得96
1-
1
2
??
=93,解得n=5.
五、反思小结,观点提炼
略