勾股定理单元测试卷（B卷提升篇）
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是
A． B．
C．，， D．
2．（3分）如图，，，，则的度数是
A． B． C． D．
3．（3分）在中，，，，于，则长为
A．1 B． C． D．
4．（3分）如图，在中，，，，将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长是
A．4 B．4.2 C．5 D．5.8
5．（3分）如图是“赵爽弦图”， 、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么等于
A．8 B．6 C．4 D．5
6．（3分）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为
A．47 B．62 C．79 D．98
7．（3分）一根长的牙刷置于底面半径为，高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的值不可能是
A． B． C． D．
8．（3分）如图，在中，，，，点在上，，交于点，交于点，则的长是
A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5
9．（3分）把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一条直线上，若，则的长为
A． B． C． D．
10．（3分）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知一组勾股数中有一个数是、都是正整数，且，尝试写出其它两个数（均用含、的代数式表示，只要写出一组） ， ．
12．（3分）如图，在中，，，，若，则 ．
13．（3分）如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则的度数为 ．
14．（3分）在中，是41的算术平方根，，若边上的高等于4，则的长为 ．
15．（3分）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？丈尺）设竹子折断处离地面尺．可列方程 ．
16．（3分）如图， 在中，，，点为的中点， 垂足为点，则等于 ．
17．（3分）如图，在中，，点是内一点，若，，则 ．
18．（3分）如图，中，，点为边上的一点，延长至点，使得，当时，过作于，，，则面积为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）如图，正方形中，为的中点，为上一点，且，你能说明是直角吗？
20．（8分）如图，在直角三角形中，，，，为上的点，为上的点，垂直平分，求、的长．
21．（8分）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中，，，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度．
22．（10分）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于多少？
23．（12分）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）当点在上，且满足时，求出此时的值；
（2）当点在上，求出为何值时，为等腰三角形．
第3章 勾股定理单元测试卷（B卷提升篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2019春?洛龙区期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a2﹣b2＝c2 B．a＝
C．a＝2，b＝，c＝ D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【答案】解：A、∵a2﹣b2＝c2，即a2+c2＝b2，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、∵（）2+12＝（）2，即c2+b2＝a2，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+（）2＝（）2，即a2+b2＝c2，∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，即∠C＝75°，∴三角形不是直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．（3分）（2018秋?九龙坡区校级期中）如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD的度数是（ ）
A．85° B．90° C．95° D．100°
【分析】根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【答案】解：∵AC⊥BD，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝45°，
∵∠D＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∴∠BAD＝50°+45°＝95°，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．
3．（3分）（2019春?城关区校级期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，CD⊥AB于D，则CD长为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算即可．
【答案】解：由勾股定理得，AB＝＝＝，
S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
则1×2＝×CD，
解得，CD＝，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．（3分）（2018春?忻城县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，将△ABC折叠，使点A与BC边的中点D重合，折痕为EF，则线段CF的长是（ ）
A．4 B．4.2 C．5 D．5.8
【分析】设FC＝x，则FA＝10﹣x＝FD，在Rt△FDC中，利用勾股定理可得结果．
【答案】解：由折叠的对称性可知FD＝FA，
∵D为BC中点，
∴DC＝4．
设FC＝x，则FA＝10﹣x＝FD．
在Rt△FDC中，利用勾股定理可得：
FC2+CD2＝FD2，即x2+42＝（10﹣x）2，
解得x＝4.2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中利用勾股定理求解．
5．（3分）（2019春?番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【答案】解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
6．（3分）（2018秋?丹阳市期中）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【答案】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
7．（3分）（2018秋?南明区校级期中）一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是（ ）
A．3cm B．πcm C．6cm D．8cm
【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【答案】解：∵将一根长为18cm的牙刷，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x＝12，
最长时等于牙刷斜边长度是：x＝＝13，
∴h的取值范围是：（18﹣13）≤h≤（18﹣12），
即5≤h≤6．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．
8．（3分）（2019春?海阳市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）
A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5
【分析】连接DF，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CE＝DE，由线段垂直平分线的性质得出CF＝DF，由SSS证明△ADF≌△ACF，得出∠ADF＝∠ACF＝∠BDF＝90°，设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【答案】解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，
∴∠BDF＝90°，
设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CF＝1.5；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．（3分）（2018秋?安国市期中）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一条直线上，若AB＝，则CD的长为（ ）
A．﹣1 B． C．﹣1 D．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【答案】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
10．（3分）（2019春?乐陵市期中）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，…按此规律继续下去，则S2019的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝（）n﹣1，依此规律即可得出结论．
【答案】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝S1＝，S3＝S2＝，S4＝S3＝，…，
∴Sn＝（）n﹣1．
当n＝2019时，S2019＝（）2019﹣1＝（）2018，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律Sn＝（）n﹣1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018秋?兴化市期中）已知一组勾股数中有一个数是2mn（m、n都是正整数，且m＞n≥2），尝试写出其它两个数（均用含m、n的代数式表示，只要写出一组）： m2﹣n2 ， m2+n2 ．
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，据此可得其它两个数．
【答案】解：∵一组勾股数中有一个数是2mn（m、n都是正整数，且m＞n≥2），
∴其它两个数为：m2﹣n2和m2+n2，或m2n2+1和m2n2﹣1，或m2n+n和m2n﹣n，或mn2﹣m和mn2+m．（答案不唯一）
故答案为：m2﹣n2，m2+n2．
【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理逆定理的运用，一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
12．（3分）（2019春?天宁区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，EF∥GH，若∠1＝58°，则∠2＝ 27 °．
【分析】依据三角形内角和定理，可得∠A的度数，再根据三角形外角性质以及平行线的性质，即可得到∠2的度数．
【答案】解：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，
∴∠A＝31°，
由三角形外角性质，可得∠ADF＝∠1﹣∠A＝27°，
又∵EF∥GH，
∴∠2＝∠ADF＝27°，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等平行线的性质是解题的关键．
13．（3分）（2018秋?临淄区校级期中）如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图案，由四个完全相同的小正方形拼成，则∠ABC的度数为 45° ．
【分析】设小正方形的边长为1，连接AC，利用勾股定理求出AC、BC、AB的长，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，继而得出∠ABC的度数．
【答案】解：如图，设小正方形的边长为1，连接AC．
则AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，
∴AC＝BC，且AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出AC、BC、AB的长，判断出△ABC是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．
14．（3分）（2019春?颍州区校级期中）在△ABC中，AB是41的算术平方根，AC＝5，若BC边上的高等于4，则BC的长为 8或2 ．
【分析】分点D在线段BC上和BC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．
【答案】解：如图1，
∵AB是41的算术平方根，
∴AB＝，∵AC＝5
在Rt△ABD中，BD＝＝5，
在Rt△ACD中，CD＝5＝3，
∴BC＝BD+CD＝8，
如图2，BC＝BD﹣CD＝2，
∴BC的长为8或2，
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．（3分）（2019春?仓山区期中）《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）设竹子折断处离地面x尺．可列方程 x2+32＝（10﹣x）2 ．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【答案】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2，
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
16．（3分）（2018秋?余杭区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 ．
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【答案】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD?AD＝AB?ED，
∴ED＝，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
17．（3分）（2018秋?巴南区期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，则∠ADB＝ 135° ．
【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB＝∠ABC＝45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，根据∠ABC＝45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC＝150°，最后由周角得出结论．
【答案】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵AC＝AD，
∴AD＝BC，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝∠ADC＝75°，
∠DAB＝45°﹣30°＝15°，
∴∠DCB＝90°﹣75°＝15°，
∴∠EAD＝∠DCB，
在AB上取一点E，使AE＝CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
∵，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE＝∠CBD，ED＝BD，
∴∠DEB＝∠DBE，
设∠CBD＝x，则∠ADE＝x，∠DEB＝∠DBE＝15+x，
∵∠ABC＝45°，
∴x+15+x＝45，
x＝15°，
∴∠DCB＝∠DBC＝15°，
∴∠BDC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠ADB＝360°﹣75°﹣150°＝135°；
故答案为：135°
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定以及三角形内角和与外角的性质，作辅助线，构建全等三角形是关键，根据三角形的角的关系依次求角的度数是突破口，并与方程相结合，使问题得以解决．
18．（3分）（2018秋?新吴区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD＝AP，当AD⊥AB时，过D作DE⊥AC于E，AB﹣BC＝4，AC＝8，则△ABP面积为 15 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠ABP，设AB的长为x，则BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x；要求△ABP的面积，只需求出AB边上的高即可．
【答案】解：∵∠C＝90°，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，
∵DA⊥BA，
∴∠PBA+∠BDA＝90°，
∵AD＝AP，
∴∠BDA＝∠DPA＝∠BPC，
∠CBP＝∠ABP，
设AB＝x，
∵AB﹣BC＝4，
∴BC＝x﹣4，
∵AC＝8，
∴在Rt△ABC中，（x﹣4）2+64＝x2，
解得：x＝10，
即AB＝10，
∴BC＝6，
过点P作PF⊥BA于点F，如图，
在△BCP和△BFP中，，
∴△BCP≌△BFP（AAS），
∴BF＝BC＝6，PF＝PC，
∴AF＝4，
设PF＝PC＝y，
在Rt△PAF中，16+y2＝（8﹣y）2，
解得：y═3，
即PF＝3，
∴S△ABP＝AB?PF＝×10×3＝15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（8分）如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，你能说明∠AFE是直角吗？
【分析】连接AE，设CE＝a，则BC＝4a，DF＝2a，BE＝3a，再利用勾股定理计算出AF2、EF2、AE2、根据勾股定理逆定理可判断出∠AFE是直角．
【答案】解：连接AE，
设CE＝a，则BC＝4a，DF＝2a，BE＝3a，
AF2＝AD2+DF2＝20a2，EF2＝FC2+EC2＝5a2，AE2＝AB2+BE2＝25a2，
∵AE2＝AF2+EF2
∴∠AFE是直角．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
20．（8分）（2018春?平南县期中）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，D为AB上的点，E为AC上的点，ED垂直平分AB，求AB、AE的长．
【分析】连接EB，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据勾股定理计算即可．
【答案】解：连接EB，
在Rt△BAC中，AB＝＝2，
∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
在Rt△BCE中，BE2＝CE2+BC2，即AE2＝（6﹣AE）2+22，
解得，AE＝．
【点睛】本题考查的是勾股定理、垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
21．（8分）（2018秋?南关区校级期中）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为400cm，彩旗完全展开时的尺寸是如图①所示的长方形，其中∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②所示．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【分析】根据勾股定理就可求出彩旗的对角线的长，继而求出h的值．
【答案】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝90cm，BC＝120cm，
∴AC＝＝＝150（cm），
∴h＝400﹣150＝250cm．
彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为250cm．
【点睛】本题考查勾股定理的实际运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
22．（10分）（2018秋?梁溪区校级期中）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？
【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【答案】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，
∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，
由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．
【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
23．（12分）（2018秋?锡山区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）当点P在AB上，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值．
【答案】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴由勾股定理得AC＝＝8，
如图，连接BP，
当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即（8﹣t）2+62＝t2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）①如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷1＝20（s）；
②如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝4.8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷1＝21.2（s）；
③如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷1＝19（s）；
综上所述，20s或21.2s或19s时，△BCP为等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．
