安徽省涡阳县新桥中学2019-2020学年九年级数学第一学期期中试题及解析

新桥中学2019-2020学年九年级数学第一学期期中试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
抛物线y=12(x?2)2?3的顶点坐标是(????)
A. (2,3) B. (2,?3) C. (?2,3) D. (?2,?3)
抛物线y=(x?1)2+2的对称轴为(????)
A. 直线x=1 B. 直线x=?1 C. 直线x=2 D. 直线x=?2
如图,AC与BD相交于点E,AD∥BC.若AE=2,CE=3,AD=3,则BC的长度是(????)
A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 6
如图l1∥l2∥l3,直线AC与DF交于点O,且与l1,l2,l3分别交于点A,B,C,D,E,F,则下列比例式不正确的是(????)
A. ABBC=DEEFB. ABBO=DEEO C. OBOC=OEOF
D. ADCF=AOAC
已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是(??)
A. (1,0) B. (-1,0) C. (2,0) D. (-3,0)
如图,函数y=ax2?2x+1和y=ax?a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(????)
A. B. C. D.
如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列结论正确的是(????)?A. BD=12AD B. BC2=AB?CD C. AD2=BD?AB D. CD2=AD?BD
如图,△ABC中,AB=AC,,CD是角平分线,则△DBC的面积与△ABC面积的比值是(? ? ?)．
A. ?5?22B. 5?23C. ?3?52D. 3?53
如图：设AB是已知线段,以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E,连接EB：延长DA至AF,使EF=EB.以线段AF为边作正方形AFGH,交AB于点H,则BH：AH的值是(????)
A. 5?12B. 5+12C. 3?52D. 12
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论：①a?b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a(c?n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n?1有两个互异实根．其中正确结论的个数是(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
已知抛物线y=x2?2kx+9的顶点在x轴上,则k= ______ ．
如图,若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t?5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=23EH,那么EH的长为______．
交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②DP2=PH?PB；③EPPH=35；．
其中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
三、计算题与作图（本大题共4小题，共32分）
已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求△ABC的面积．
如图,一次函数y1=?x+2的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(?1,3)、B(n,?1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)当y1>y2时,直接写出x的取值范围．
在平面直角坐标系中,△ABC的位置如下图所示,其中点B(?3,1),解答下列问题：
?
(1)将△ABC绕着点O(0,0)顺时针旋转得到△A1B1C1,并写出B1的坐标；?
(2)在网格图中,以O为位似中心在另一侧将△A1B1C1放大2倍得到△A'B'C',并写出B'的坐标.?
一位同学想利用有关知识测旗杆的高度,他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m,但当他马上测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,他先测得留在墙上的影子CD=1.0m,又测地面部分的影长BC=3.0m,你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
四、解答与证明题（本大题共5小题，共48分）
某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=?x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．（10分）(1)求w与x之间的函数解析式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元？
如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．（12分）
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1+∠2的度数．
如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E。（12分）

(1)求证：AG=CG;
(2)求证：AG2=GE·GF．
如图,已知抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于点A(?1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点．（14分）(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(?b2a,4ac?b24a)

新桥中学2019-2020学年九年级数学第一学期期中试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
抛物线y=12(x?2)2?3的顶点坐标是(????)
A. (2,3) B. (2,?3) C. (?2,3) D. (?2,?3)
【答案】B
【解析】解：因为y=12(x?2)2?3的是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,?3)．故选：B．已知解析式是抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标．此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a(x?h)2+k的顶点坐标为(h,k)．
抛物线y=(x?1)2+2的对称轴为(????)
A. 直线x=1 B. 直线x=?1 C. 直线x=2 D. 直线x=?2
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质有关知识,由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y=(x?1)2+2,∴对称轴为直线x=1,故选A．
如图,AC与BD相交于点E,AD∥BC.若AE=2,CE=3,AD=3,则BC的长度是(????)
A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 6
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.根据AD∥BC,推出△ADE∽△BCE,根据相似三角形的性质得到AECE=ADBC,代入数据即可得到结论．【解答】解：∵AD∥BC,∴△ADE∽△BCE,∴AECE=ADBC,即：23=3BC,∴BC=92,故选C．
如图l1∥l2∥l3,直线AC与DF交于点O,且与l1,l2,l3分别交于点A,B,C,D,E,F,则下列比例式不正确的是(????)
A. ABBC=DEEFB. ABBO=DEEOC. OBOC=OEOFD. ADCF=AOAC
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能正确根据定理进行推理是解此题的关键,平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线,所截的线段对应成比例．平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线,所截的线段对应成比例,根据以上内容判断即可．【解答】解：A、∵l1∥l2∥l3,∴ABBC=DEEF,故本选项错误；B、∵l1∥l2∥l3,∴ABBO=DEEO,故本选项错误；C、∵l1∥l2∥l3,∴OBOC=OEOF,故本选项错误；D、∵l1∥l2∥l3,∴ADCF=AOOC,故本选项正确；故选：D．
已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(2,0),则它与x轴的另一个交点坐标是(??)
A. (1,0) B. (-1,0) C. (2,0) D. (-3,0)
【答案】D
【解析】【分析】根据根与系数的关系,x1+x2=?ba,即可求出另一根,即可解答.本题主要考查抛物线与x轴的交点,解决此题时,根据根与系数的关系直接计算更简单．【解答】解：∵a=1,b=1,∴x1+x2=?ba=?11=?1,即：2+x=?1,解得：x=?3,∴二次函数与x轴的另一个交点为(?3,0),故选D．
如图,函数y=ax2?2x+1和y=ax?a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、由一次函数y=ax?a的图象可得：a<0,此时二次函数y=ax2?2x+1的图象应该开口向下,故选项错误；B、由一次函数y=ax?a的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2?2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=??22a>0,故选项正确；C、由一次函数y=ax?a的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2?2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=??22a>0,和x轴的正半轴相交,故选项错误；D、由一次函数y=ax?a的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2?2x+1的图象应该开口向上,故选项错误．故选：B．可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax?a在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列结论正确的是(????)?
A. BD=12AD B. BC2=AB?CD C. AD2=BD?AB D. CD2=AD?BD
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的判定定理找出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB、△ADC∽△CDB是解题的关键．根据直角三角形结合垂线的定义,可得出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB,进而可得出△ADC∽△CDB,再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠A=∠A,,∴△ACB∽△ADC．同理：△ACB∽△CDB,∴△ADC∽△CDB,∴ADCD=CDBD,∴CD2=AD?BD．故选D．
如图,△ABC中,AB=AC,,CD是角平分线,则△DBC的面积与△ABC面积的比值是(? ? ?)．
A. ?5?22B. 5?23C. ?3?52D. 3?53
【答案】C
【解析】【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理,可以求得,根据角平分线定义,可得；根据两角对应相等,得△DBC∽△BCA,则相似三角形的面积比是相似比的平方.设AB=x,BC=y,根据等腰三角形的性质,则AD=CD=BC=y,则BD=x?y.根据相似三角形的性质求得y：x的值即可．【解答】设AB=x,BC=y．∵△ABC中,AB=AC,,．∵CD是角平分线,．∴AD=CD=BC=y,∴BD=x?y．,,∴△DBC∽△ABC．∴ABBC=BCBD．即xy=yx?y,x2?xy?y2=0,x=1±52y(负值舍去)．则yx=5?12．∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是y2x2=3?52．故选C．
如图：设AB是已知线段,以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E,连接EB：延长DA至AF,使EF=EB.以线段AF为边作正方形AFGH,交AB于点H,则BH：AH的值是(????)
A. 5?12B. 5+12C. 3?52D. 12
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：熟练掌握比例的性质.也考查了正方形的性质．设AB=2a,利用正方形的性质得AD=2a,则AE=a,根据勾股定理计算出BE=5a,所以EF=5a,则AF=EF?AE=(5?1)a,再利用四边形AFGH为正方得到AH=AF=(5?1)a,所以BH=(3?5)a,然后计算BH：AH=(3?5)a：(5?1)a即可．【解答】解：设AB=2a,∵四边形ABCD为正方形,∴AD=2a,而E点为AD的中点,∴AE=a,∴BE=AE2+AB2=5a,∴EF=5a,∴AF=EF?AE=(5?1)a,∵四边形AFGH为正方形,∴AH=AF=(5?1)a,∴BH=AB?AH=(3?5)a,∴BH：AH=(3?5)a：(5?1)a=(5?1)：2．故选：A．
如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论：①a?b+c>0；②3a+b=0；③b2=4a(c?n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n?1有两个互异实根．其中正确结论的个数是(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(?2,0)和(?1,0)之间．∴当x=?1时,y>0,即a?b+c>0,所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=?b2a=1,即b=?2a,∴3a+b=3a?2a=a,所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴4ac?b24a=n,∴b2=4ac?4an=4a(c?n),所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n?1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n?1有两个不相等的实数根,所以④正确．故选：C．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(?2,0)和(?1,0)之间,则当x=?1时,y>0,于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=?b2a=1,即b=?2a,则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac?b24a=n,则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点,则抛物线与直线y=n?1有2个公共点,于是可对④进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时,抛物线向上开口；当a<0时,抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2?4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点；△=b2?4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点；△=b2?4ac<0时,抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共4小题，共120分）
已知抛物线y=x2?2kx+9的顶点在x轴上,则k= ______ ．
【答案】±3
【解析】解：∵y=x2?2kx+9=(x?k)2+9?k2,∴抛物线顶点坐标为(k,9?k2),∵抛物线的顶点在x轴上,∴9?k2=0,解得k=±3,故答案为：±3．化为顶点式可求得抛物线的顶点坐标,可得到关于k的方程,可求得k的值．本题主要考查二次函数的性质,利用顶点式求得抛物线的顶点坐标是解题的关键．
如图,若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t?5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为______s.
【答案】4
【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题,关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形,借助二次函数解决实际问题.此题较为简单,根据关系式,令h=0即可求得t的值为飞行的时间．【解答】解：依题意,令h=0得：0=20t?5t2,得t(20?5t)=0,解得t=0(舍去)或t=4,即小球从飞出到落地所用的时间为4s．故答案为4．
如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=23EH,那么EH的长为______．
【答案】32
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.设EH=3x,表示出EF,由AD?EF表示出三角形AEH的边EH上的高,根据三角形AEH与三角形ABC相似,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC,∵AM⊥EH,AD⊥BC,∴AMAD=EHBC,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD?EF=2?2x,∴2?2x2=3x3,解得：x=12,则EH=32．故答案为32．
如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②DP2=PH?PB；③EPPH=35；．
其中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②④
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识,解答此题的关键是作出辅助线,利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键．①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出,再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出△DPH∽△CDP,进而得出答案；③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；④根据三角形面积计算公式,结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积?△BCD的面积,得出答案【解答】解：∵△BPC是等边三角形,∴BP=PC=BC,,在正方形ABCD中,∵AB=BC=CD,,,在△ABE与△CDF中,?∠A=∠ADC∠ABE=∠DCFAB=CD?,∴△ABE≌△DCF,故①正确；∵PC=CD,,,,,,∴∠FDP=∠PBD,,∴△DFP∽△BPH,∴?PFPH=DFPB=DFCD=33?,故③错误；,∵∠DPH=∠DPC,∴△DPH∽△CDP,∴?PDCD=PHPD,∴PD2=PH·CD,∵PB=CD,∴PD2=PH·PB,故②正确如图,过P作PM⊥CD,PN⊥BC,设正方形ABCD的边长是4,△BPC为正三角形, ,PB=PC=BC=CD=4,,,,S△BPD=S四边形PBCD?S△BCD=S△PBC+S△PDC?S△BCD=43?4,∴?,故④正确；故答案为①②④．
三、计算题（本大题共4小题，共24分）
已知：二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(1,3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求△ABC的面积．
【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x?3)2+5,将A(1,3)代入上式得3=a(1?3)2+5,解得a=?12,∴抛物线的解析式为y=?12(x?3)2+5,(2)∵A(1,3)抛物线对称轴为：直线x=3∴B(5,3),令x=0,y=?12(x?3)2+5=12,则C(0,12),△ABC的面积=12×(5?1)×(3?12)=5．
【解析】(1)设顶点式y=a(x?3)2+5,然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5,3),再确定出C点坐标,然后根据三角形面积公式求解．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．
如图,一次函数y1=?x+2的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A(?1,3)、B(n,?1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)当y1>y2时,直接写出x的取值范围．
【答案】解：(1)把A(?1,3)代入y2=mx可得m=?1×3=?3,所以反比例函数解析式为y=?3x；(2)把B(n,?1)代入y=?3x得?n=?3,解得n=3,则B(3,?1),所以当xy2．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解则两者无交点．(1)把A点坐标代入y2=mx可求出m的值,从而得到反比例函数解析式；(2)利用反比例函数解析式确定B点坐标,然后观察函数图象,写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可．
在平面直角坐标系中,△ABC的位置如下图所示,其中点B(?3,1),解答下列问题：?
(1)将△ABC绕着点O(0,0)顺时针旋转得到△A1B1C1,并写出B1的坐标；?
(2)在网格图中,以O为位似中心在另一侧将△A1B1C1放大2倍得到△A'B'C',并写出B'的坐标.?
【答案】解：(1)如下图所示,点B1(1,3),
(2)如上图所示,点B'(?2,?6)．
【解析】本题考查了作图?位似变换,旋转变换,画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心,②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比,确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形．
一位同学想利用有关知识测旗杆的高度,他在某一时刻测得高为0.5m的小木棒的影长为0.3m,但当他马上测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,他先测得留在墙上的影子CD=1.0m,又测地面部分的影长BC=3.0m,你能根据上述数据帮他测出旗杆的高度吗？
【答案】解：∵高为0.5m的小木棒的影长为0.3m, ∴实际高度和影长之比为0.50.3,即53, ∴落在墙上的CD=1,如果投射到地面上应该为0.6米,即旗杆的实际影长为3+0.6=3.6米, ∴AB3.6=53,解得AB=6, 答：能.旗杆的高度为6.0m．
【解析】根据相似三角形对应线段成比例,列方程求解即可．考查了相似三角形的应用,利用已知条件把墙上的部分转移到地面上．
四、解答题（本大题共5小题，共40分）
某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=?x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数解析式；(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元？
【答案】解：(1)w=(x?30)?y=(?x+60)(x?30)=?x2+30x+60x?1800=?x2+90x?1800,w与x之间的函数解析式w=?x2+90x?1800；(2)根据题意得：w=?x2+90x?1800=?(x?45)2+225,∵?1<0,当x=45时,w有最大值,最大值是225．(3)当w=200时,?x2+90x?1800=200,解得x1=40,x2=50,∵50>48,x2=50不符合题意,舍去,答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为40元．
【解析】(1)每天的销售利润w=每天的销售量×每件产品的利润；(2)根据配方法,可得答案；(3)根据自变量与函数值的对应关系,可得答案．本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
如图,四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由．
(2)求∠1+∠2的度数．
【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a,AC=a2+a2=2a,∵ACCF=2aa=2,CGAC=2a2a=2,∴ACCF=CGAC,∵∠ACF=∠ACF,∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA,∴∠1=∠CAF,又?,．
【解析】【分析】本题主要利用两边对应成比例,夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质,求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．【解答】(1)设正方形的边长为a,求出AC的长为2a,再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF的两边的比值相等,根据两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似,即可判定△ACF与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,,所以．
如图,在菱形ABCD中,G是BD上一点,连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E。
(1)求证：AG=CG;
(2)求证：AG2=GE·GF．
【答案】证明(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB,∠ABG=∠CBG,又∵BG=GB,∴△ABG≌△CBG(SAS),∴AG=CG；(2)∵△ABG≌△CBG,∴∠BAG=∠BCG,∵四边形ABCD是菱形,∴BF//CD,∠BAD=∠BCD,∴∠GCD=∠F,∠GAE=∠GCD,∴∠GAE=∠F．又∵∠AGE=∠FGA,∴△AEG∽△FAG,∴AGFG=GEAG,∴AG2=GE·GF．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,全等三角形的判定和性质．(1)根据菱形的性质得到AB=CB,∠ABG=∠CBG,推出△ABG≌△CBG,根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)由全等三角形的性质得到∠BAG=∠BCG,等量代换得到∠GAE=∠F,求得△AEG∽△FAG,即可得到结论．
如图,已知抛物线y=?x2+bx+c与x轴交于点A(?1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(?b2a,4ac?b24a)
【答案】解：(1)由点A(?1,0)和点B(3,0)得?1?b+c=0?9+3b+c=0,解得：b=2c=3,∴抛物线的解析式为y=?x2+2x+3；(2)令x=0,则y=3,∴C(0,3),∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4,∴D(1,4)；(3)设P(x,y)(x>0,y>0),S△COE=12×1×3=32,S△ABP=12×4y=2y,∵S△ABP=4S△COE,∴2y=4×32,∴y=3,∴?x2+2x+3=3,解得：x1=0(不合题意,舍去),x2=2,∴P(2,3)．
【解析】此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法,图形面积的求法等知识,根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数b、c的值,进而可得到抛物线的对称轴方程； (2)令x=0,可得C点坐标,将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；(3)设P(x,y)(x>0,y>0),根据题意列出方程即可求得y,即得D点坐标．