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《14.2.1平方差公式》导学案
课题 平方差公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．
重点难点 重点：平方差公式的推导和应用 难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程
知识链接 1、多项式与多项式是如何相乘的？ 试一试计算：（1）(a+b) (m+n)=________________（2）（x ＋ 3)( x＋5）=_______________ 2、 问题：在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题，21×19=？和103×97=？主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答，第一题答案等于399，第二题答案等于9991，其答题之快，简直是脱口而出 同学们，你们知道他是怎么计算的吗？
合作探究 1、平方差公式 1．计算下列多项式的积： ①(x+1)(x?1)；②(m+2)(m?2)；③(2x+1)(2x?1) 2．提出问题： 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 3．特点：等号的一边： 等号的另一边： 4．得到结论：(a+b)(a?b) = ________ 即(a+b)(a?b) = _______，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)_________．2、公式的几何关系 思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？ 例1、运用平方差公式计算：①(3x+2)(3x?2) ③(?x+2y)(?x?2y) 例2、计算 (1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 现在你能解答：21×19=？和103×97=？
自主尝试 填一填：2. 判断下列式子能否用平方差公式计算： (1) (a+2b)(-a?2b) (2) (a?2b)(2b?a) (3) (2a+b)(b+2a) (4) -(a?3b)(a+3b) (5) (-2x+3y)(3y?2x) 3．化简： (－3x2＋y2)(y2＋3x2) (4)(2x＋2)(2x－2)
当堂检测 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )①(7ab－3b)(7ab＋3b)；②73×94； ③(－8＋a)(a－8)；④(－15－x)(x－15)． A．①③ B．②④ C．③④ D．①④3．计算： (1)1 007×99 (2)2 014×2 016－2 0152. 化简： (2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)． （3）解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2) 5.灵活的应用公式计算： （1）(x+y)(x-y)(x2+y2) （2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4. (1)观察以上各式并猜想： (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝_______；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x+1)=____________(3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
小结反思 本节课你学会了什么？你有什么收获?
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《14.2.1平方差公式》导学案
课题 平方差公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．
重点难点 重点：平方差公式的推导和应用 难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程
知识链接 1、多项式与多项式是如何相乘的？ 试一试计算：（1）(a+b) (m+n)=________________（2）（x ＋ 3)( x＋5）=_______________ 2、 问题：在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题，21×19=？和103×97=？主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答，第一题答案等于399，第二题答案等于9991，其答题之快，简直是脱口而出 同学们，你们知道他是怎么计算的吗？等学习了今天内容，你也会计算了，接下来就开启我们今天的学习之路吧！
合作探究 1、平方差公式学生动手，得到公式 1．计算下列多项式的积： ①(x+1)(x?1)；②(m+2)(m?2)；③(2x+1)(2x?1) ①(x+1)(x?1) = x2?x+x?1 = x2?1 ②(m+2)(m?2) = m2? 2m+ 2m?4 = m2?4 ③(2x+1)(2x?1) = 4x2?2x+2x?1 = 4x2?1 2．提出问题： 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？ 3．特点： 等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差 4．得到结论：(a+b)(a?b) = a2?ab+ab?b2 = a2?b2． 即(a+b)(a?b) = a2?b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．2、公式的几何关系 思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？ 学生讨论并回答，教师总结： (a+b)(a?b)为长方形①与③的面积和 a2?b2则是长方形①与②的面积和 而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形，面积相等所以(a+b)(a?b) = a2?b2 例1、运用平方差公式计算：①(3x+2)(3x?2) ③(?x+2y)(?x?2y)解答：①(3x+2)(3x?2) = 9x2?4②(?x+2y)(?x?2y) = (?x)2?(2y)2 = x2?4y2方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 例2、计算 (1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 解：原式=(100+2)(100-2)=1002－22=10000－4=9996. 解：原式=(y2－22)-(y2+5y-y-5)= y2－22－y2-5y+y+5=-4y+1. 现在你能解答：21×19=？和103×97=？小结：注意通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
自主尝试 填一填：答案：略2. 判断下列式子能否用平方差公式计算： (1) (a+2b)(-a?2b) 不能 (2) (a?2b)(2b?a) 不能 (3) (2a+b)(b+2a) 不能 (4) -(a?3b)(a+3b) 能 (5) (-2x+3y)(3y?2x) 不能 3．化简： (－3x2＋y2)(y2＋3x2) (4)(2x＋2)(2x－2) 答案：（1）、（2）、（3）y4－9x4、（4）4x2－4
当堂检测 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )D①(7ab－3b)(7ab＋3b)；②73×94； ③(－8＋a)(a－8)；④(－15－x)(x－15)． A．①③ B．②④ C．③④ D．①④3．计算： (1)1 007×99 (2)2 014×2 016－2 0152. 答案：（1）原式＝(1 000＋7)×(1 000－7) ＝1 0002－72＝999 951 （2）原式＝(2 015－1)×(2 015＋1)－2 0152 ＝2 0152－1－2 0152＝－1 化简： (2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)． （3）解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2) 答案：（1）、（2）5x2－5y2 、（3）x＝－14 5.灵活的应用公式计算： （1）(x+y)(x-y)(x2+y2) （2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 答案：（1）x4-y4 （2） x16－y16 6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4. (1)观察以上各式并猜想： (1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝_______；(n为正整数) (2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________； ②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x+1)=____________(3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝________； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．答案：（1）1－xn＋1 （2）－63 、2n＋1－2 、x100－1 （3）a2－b2 、a3－b3、a4－b4
小结反思 本节课你学会了什么？你有什么收获?
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(共23张PPT)
14.2.1平方差公式
人教版 八年级上
新知导入
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
=x2
＋5x
＋3x
＋15
=x2
＋8x
＋15.
(a+b) (m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新知导入
问题：在一次智力抢答游戏中，主持人提问了两道计算题，21×19=？和103×97=？主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答，第一题答案等于399，第二题答案等于9991，其答题之快，简直是脱口而出
同学们，你们知道他是怎么计算的吗？
想一想：
新知讲解
计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1)= = ；
(2)(m+2)(m-2)= = ；
(3)(2x+1)(2x-1)=______________= 。
x2-x+x-1
x2-1
m2-2m+2m-1
m2-1
4x2-2x+2x-1
4x2-1
观察以上算式及运算结果，你发现了什么规律？
新知讲解
平方差公式
一般地，
(a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的 __ 与这两个数的 __ 的_____，等于这两个数的平方差.
这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
和
差
积
温馨提示：平方差公式是多项式乘法(m+a)(n+b)
中，m=n，a=-b的特殊情形。.
新知讲解
你能利用几何法说明平方差公式吗？
想一想
b
b
边长为a的正方形，剪去边长为b
的小正方形之后，剩余的面积为______.
将橙色的长方形移动到如图位置，则面积可计算：___________
(a+b)(a-b)=a2-b2.
a2-b2
(a+b)(a-b).
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
相反为b
注意：a,b可以是单项式，也可以是多项式.
相同为a
理解公式：
巩固练习
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
1.填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
巩固练习
(1) (a+2b)(?a?2b) ；
(2) (a?2b)(2b?a) ；
(3) (2a+b)(b+2a)；
(4) ?(a?3b)(a+3b) ；
(5) (?2x+3y)(3y?2x)．
(不能)
(第一个数不完全一样 )
(不能)
(不能)
(能)
?(a2 ?9b2)=
?a2 + 9b2 ；
(不能)
2. 判断下列式子能否用平方差公式计算：
( - )
新知讲解
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）(3x-2)
分析：在(1)中把3x看成a，2看成b.
解：原式=(3x)2-22=9x2-4
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
( + )
要注意合理的加上括号。
a
b
a
b
=
b2
a2
-
新知讲解
（2）（-x+2y）(-x-2y)
-4y2
符号相同的看作a，符号不同的看作b。
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
相同的
相反的
解：原式＝
x2
巩固练习
3．化简：
(3)(－3x2＋y2)(y2＋3x2) (4)(2x＋2)(2x－2)
解：原式＝y4－9x4.
解：原式＝4x2－4
新知讲解
例2、计算
(1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
解：原式
=(100+2)(100-2)
=1002－22
=10000－4
=9996.
解：原式
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
= y2－22－y2-5y+y+5
=-4y+1.
只有符合(a+b) (a-b)的形式才能用平方差公式
拓展提高
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是( )
①(7ab－3b)(7ab＋3b)；②73×94；
③(－8＋a)(a－8)；④(－15－x)(x－15)．
A．①③ B．②④
C．③④ D．①④
D
B
拓展提高
3．计算：
(1)1 007×993
(2)2 014×2 016－2 0152.
解：原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)
＝1 0002－72＝999 951
解：原式＝(2 015－1)×(2 015＋1)－2 0152
＝2 0152－1－2 0152＝－1
拓展提高
(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)．
解：原式＝5x2－5y2
（3）解方程：(3x)2－(2x＋1)(3x－2)＝3(x＋2)(x－2)
解：9x2－(6x2－4x＋3x－2)＝3(x2－4)
9x2－6x2＋4x－3x＋2＝3x2－12
x＝－14
4.化简：
拓展提高
5.灵活的应用公式计算：
（1）(x+y)(x-y)(x2+y2)
解： (x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2＋y2)
=x4-y4
（2） (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
解原式= (x2－y2)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)
=(x4－y4) (x4+y4)(x8+y8)
=(x8－y8 )(x8+y8)
=x16－y16
拓展提高
6.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.
(1)观察以上各式并猜想：
(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝_______；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn＋1
－63
2n＋1－2
x100－1
拓展提高
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a－b)(a＋b)＝________；
②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
a2－b2
a3－b3
a4－b4
课堂总结
1、平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2、注意：紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，
只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直
接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
作业布置
教材108页练习1、2题
谢谢
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