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《14.2.1平方差公式》导学案
课题 平方差公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 经历探索平方差公式的过程;会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算,培养学生观察、归纳、概括的能力.
重点难点 重点:平方差公式的推导和应用 难点:理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.
教学过程
知识链接 1、多项式与多项式是如何相乘的? 试一试计算:(1)(a+b) (m+n)=________________(2)(x + 3)( x+5)=_______________ 2、 问题:在一次智力抢答游戏中,主持人提问了两道计算题,21×19=?和103×97=?主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答,第一题答案等于399,第二题答案等于9991,其答题之快,简直是脱口而出 同学们,你们知道他是怎么计算的吗?
合作探究 1、平方差公式 1.计算下列多项式的积: ①(x+1)(x?1);②(m+2)(m?2);③(2x+1)(2x?1) 2.提出问题: 观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律? 3.特点:等号的一边: 等号的另一边: 4.得到结论:(a+b)(a?b) = ________ 即(a+b)(a?b) = _______,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)_________.2、公式的几何关系 思考:你能根据右图中的面积说明平方差公式吗? 例1、运用平方差公式计算:①(3x+2)(3x?2) ③(?x+2y)(?x?2y) 例2、计算 (1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 现在你能解答:21×19=?和103×97=?
自主尝试 填一填:2. 判断下列式子能否用平方差公式计算: (1) (a+2b)(-a?2b) (2) (a?2b)(2b?a) (3) (2a+b)(b+2a) (4) -(a?3b)(a+3b) (5) (-2x+3y)(3y?2x) 3.化简: (-3x2+y2)(y2+3x2) (4)(2x+2)(2x-2)
当堂检测 1.下列各式中,能用平方差公式计算的是( )①(7ab-3b)(7ab+3b);②73×94; ③(-8+a)(a-8);④(-15-x)(x-15). A.①③ B.②④ C.③④ D.①④3.计算: (1)1 007×99 (2)2 014×2 016-2 0152. 化简: (2)(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x). (3)解方程:(3x)2-(2x+1)(3x-2)=3(x+2)(x-2) 5.灵活的应用公式计算: (1)(x+y)(x-y)(x2+y2) (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 6.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3, (1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4. (1)观察以上各式并猜想: (1-x)(1+x+x2+…+xn)=_______;(n为正整数) (2)根据你的猜想计算: ①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________; ②2+22+23+…+2n=________(n为正整数); ③(x-1)(x99+x98+x97+…+x+1)=____________(3)通过以上规律请你进行下面的探索: ①(a-b)(a+b)=________; ②(a-b)(a2+ab+b2)=________; ③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________.
小结反思 本节课你学会了什么?你有什么收获?
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《14.2.1平方差公式》导学案
课题 平方差公式 学科 数学 年级 八年级上册
教学目标 经历探索平方差公式的过程;会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算,培养学生观察、归纳、概括的能力.
重点难点 重点:平方差公式的推导和应用 难点:理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式.
教学过程
知识链接 1、多项式与多项式是如何相乘的? 试一试计算:(1)(a+b) (m+n)=________________(2)(x + 3)( x+5)=_______________ 2、 问题:在一次智力抢答游戏中,主持人提问了两道计算题,21×19=?和103×97=?主持人话音刚落就立刻有一名学生站起来抢答,第一题答案等于399,第二题答案等于9991,其答题之快,简直是脱口而出 同学们,你们知道他是怎么计算的吗?等学习了今天内容,你也会计算了,接下来就开启我们今天的学习之路吧!
合作探究 1、平方差公式学生动手,得到公式 1.计算下列多项式的积: ①(x+1)(x?1);②(m+2)(m?2);③(2x+1)(2x?1) ①(x+1)(x?1) = x2?x+x?1 = x2?1 ②(m+2)(m?2) = m2? 2m+ 2m?4 = m2?4 ③(2x+1)(2x?1) = 4x2?2x+2x?1 = 4x2?1 2.提出问题: 观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律? 3.特点: 等号的一边:两个数的和与差的积,等号的另一边:是这两个数的平方差 4.得到结论:(a+b)(a?b) = a2?ab+ab?b2 = a2?b2. 即(a+b)(a?b) = a2?b2,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.2、公式的几何关系 思考:你能根据右图中的面积说明平方差公式吗? 学生讨论并回答,教师总结: (a+b)(a?b)为长方形①与③的面积和 a2?b2则是长方形①与②的面积和 而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形,面积相等所以(a+b)(a?b) = a2?b2 例1、运用平方差公式计算:①(3x+2)(3x?2) ③(?x+2y)(?x?2y)解答:①(3x+2)(3x?2) = 9x2?4②(?x+2y)(?x?2y) = (?x)2?(2y)2 = x2?4y2方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式. 例2、计算 (1) 102×98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 解:原式=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996. 解:原式=(y2-22)-(y2+5y-y-5)= y2-22-y2-5y+y+5=-4y+1. 现在你能解答:21×19=?和103×97=?小结:注意通过合理变形,利用平方差公式,可以简化运算.
自主尝试 填一填:答案:略2. 判断下列式子能否用平方差公式计算: (1) (a+2b)(-a?2b) 不能 (2) (a?2b)(2b?a) 不能 (3) (2a+b)(b+2a) 不能 (4) -(a?3b)(a+3b) 能 (5) (-2x+3y)(3y?2x) 不能 3.化简: (-3x2+y2)(y2+3x2) (4)(2x+2)(2x-2) 答案:(1)、(2)、(3)y4-9x4、(4)4x2-4
当堂检测 1.下列各式中,能用平方差公式计算的是( )D①(7ab-3b)(7ab+3b);②73×94; ③(-8+a)(a-8);④(-15-x)(x-15). A.①③ B.②④ C.③④ D.①④3.计算: (1)1 007×99 (2)2 014×2 016-2 0152. 答案:(1)原式=(1 000+7)×(1 000-7) =1 0002-72=999 951 (2)原式=(2 015-1)×(2 015+1)-2 0152 =2 0152-1-2 0152=-1 化简: (2)(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x). (3)解方程:(3x)2-(2x+1)(3x-2)=3(x+2)(x-2) 答案:(1)、(2)5x2-5y2 、(3)x=-14 5.灵活的应用公式计算: (1)(x+y)(x-y)(x2+y2) (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8) 答案:(1)x4-y4 (2) x16-y16 6.已知x≠1,计算:(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3, (1-x)(1+x+x2+x3)=1-x4. (1)观察以上各式并猜想: (1-x)(1+x+x2+…+xn)=_______;(n为正整数) (2)根据你的猜想计算: ①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=________; ②2+22+23+…+2n=________(n为正整数); ③(x-1)(x99+x98+x97+…+x+1)=____________(3)通过以上规律请你进行下面的探索: ①(a-b)(a+b)=________; ②(a-b)(a2+ab+b2)=________; ③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=________.答案:(1)1-xn+1 (2)-63 、2n+1-2 、x100-1 (3)a2-b2 、a3-b3、a4-b4
小结反思 本节课你学会了什么?你有什么收获?
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