北师大版数学必修4同步教学课：第1章-2 角的概念的推广

课件34张PPT。§2　角的概念的推广内容要求　1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1　角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内 绕着 O从一个位置 OA 到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的 和 ．一条射线 端点 旋转 始边 终边 (2)按照角的旋转方向，分为如下三类：逆时针 顺时针 零角 【预习评价】　
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角( )
(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角( )
(3)没有作任何旋转就没有角对应( )
(4)终边和始边重合的角是零角( )
(5)经过1小时时针转过30°( )× × × √ √ 知识点2　象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么， (除端点外)在第几象限，就说这个角是 ．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个 ．角的终边 第几象限角 象限 【预习评价】
1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？
提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．
2．第二象限的角比第一象限的角大吗？
提示　不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3　终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 的整数倍的和．S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 周角 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角一定相等( )
(2)相等的角终边一定相同( )
(3)终边相同的角有无数多个( )
(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍( )× × √ √ 题型一　角的概念的推广
【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数．
解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法　1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点
(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．
(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】　(1)图中角α＝________，β＝________；
(2)经过10 min，分针转了________．
答案　(1)－150°　210°　(2)－60°题型二　终边相同的角
【例2】　已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解　(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，
即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
所以θ为－110°，－470°.规律方法　将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】　写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}，
所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．【探究1】　在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3解析　－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与
－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．
答案　C【探究2】　写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．
解　根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．
所以表示为：
第一象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，0°＜α＜90°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＜β＜k·360°＋90°，k∈Z}．
第二象限角的集合：S＝{β|β＝k·360°＋α，90°＜α＜180°，k∈Z}，或S＝{β|k·360°＋90°＜β＜k·360°＋180°，k∈Z}．规律方法　1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．易错警示　由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标
1．－361°的终边落在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D.
答案　D2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(　　)
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
答案　D3．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
答案　195°＋(－3)×360°
4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．
解析　∵－1 692°＝－5×360°＋108°，
∴与108°终边相同的最大负角为－252°.
答案　－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．
2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.