北师大版数学选修4-5同步教学课件：第2章 1.1 柯西不等式

课件28张PPT。第二章　§1　柯西不等式1.1　简单形式的柯西不等式学习目标
1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义.
2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　简单形式的柯西不等式思考1　(a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案　(a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2　当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案　当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3　若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理　(1)简单形式的柯西不等式
①定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥ .
当向量(a，b)与向量(c，d) 时，等号成立.
②简单形式的柯西不等式的推论
(a＋b)(c＋d)≥____________(a，b，c，d为非负实数)；
≥ (a，b，c，d∈R)；
≥ (a，b，c，d∈R).
以上不等式，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立.(ac＋bd)2共线|ac＋bd||ac|＋|bd|(2)柯西不等式的向量形式
设α，β是任意两个向量，则|α||β| |α·β|，当向量α，β 时，等号成立.≥共线题型探究类型一　利用柯西不等式证明不等式例1　(1)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1；证明∴当且仅当a＝b＝c时，等号成立.证明反思与感悟　利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)(c＋d)≥ 其中a，b，c，d∈R＋.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a＝1×a)，变形等.证明证明　∵a1，a2，b1，b2∈R＋，例2　若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：|x＋2y＋z|≤3.证明证明　因为x2＋4y2＋z2＝3，
所以由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.反思与感悟　(1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.
(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.证明　∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
又a>b>c，
∴a－c>0，a－b>0，b－c>0. 证明类型二　利用柯西不等式求最值例3　若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解　由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟　利用柯西不等式求最值
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件.
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧.
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.跟踪训练3　已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解答解　由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，
∵9a2＋4b2＝18，
∴36≥(3a＋2b)2.
∴|3a＋2b|≤6.达标检测12435解析　(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为答案解析√12435解析　∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
∴a2＋b2≥2.2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则答案解析√12435∴最小值为9.答案解析912435解析　∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，
∴m2＋n2≥5.答案解析当且仅当an＝bm时取等号.124355.已知a2＋b2＝1，求证：|acos θ＋bsin θ|≤1.证明证明　∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)≥(acos θ＋bsin θ)2，
∴|acos θ＋bsin θ|≤1.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件的记忆方法
如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆.本课结束