2.1.1 合情推理
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课件38张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.梳理 (1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的
都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理.
(2)特征：由 到 ，由 到 .部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般知识点二 类比推理思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火
星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？答案 类比推理.梳理 (1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些
特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
(2)特征：由 到 的推理.类似已知另一类对象特殊特殊知识点三 合情推理思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、
、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理.
(2)推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( )
3.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究命题角度1 图形中的归纳推理
例1 (1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是类型一 归纳推理及应用A.B*D，A*D B.B*D，A*C
C.B*C，A*D D.C*D，A*D解析 由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.解析答案√(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示).根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是
A.↓→ B.→↑
C.↑→ D.→↓解析 观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.解析答案√反思与感悟 对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键.跟踪训练1 (1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱的对角面的个数f(n＋1)等于
A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2解析答案√(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成.解析答案通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有___根；第n个图形中，火柴棒有______根.133n＋1解析 第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n个图形有(3n＋1)根火柴棒.命题角度2 数列中的归纳推理解答反思与感悟 数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据.跟踪训练2 若在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2(n∈N*)，则猜想an等于解析答案√解析 ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
…，
猜想an＝2n－2(n∈N*).命题角度1 平面几何性质类比立体几何性质类型二 类比推理及应用√解析答案反思与感悟 平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离.解答命题角度2 等差数列的性质类比等比数列的性质解析答案反思与感悟 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算.跟踪训练4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则
T4，___，___， 成等比数列.解析 等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法.解析答案达标检测12341.数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为
A.28 B.32
C.33 D.27答案√5解析 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，
所以猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故选B.解析2.若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N*，则下列说法正确的是_____.
①f(n)可以为偶数；
②f(n)一定为奇数；
③f(n)可能为质数；
④f(n)一定为合数.解析 f(1)＝12＋1＋21＝23，f(2)＝22＋2＋21＝27，…，f(n)＝n(n＋1)＋21，
所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，
所以f(n)一定是奇数.解析答案12345②③3.我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是___.解析答案12345解析 由题意知，第n个正方形中的点数为n2.n24.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是____________________________________________________
_______________.12345答案解析 等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比.解析 各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等12345答案解析123451.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为本课结束
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.梳理 (1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的
都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理.
(2)特征：由 到 ，由 到 .部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般知识点二 类比推理思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火
星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？答案 类比推理.梳理 (1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些
特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
(2)特征：由 到 的推理.类似已知另一类对象特殊特殊知识点三 合情推理思考1 归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、
、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理.
(2)推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( )
3.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究命题角度1 图形中的归纳推理
例1 (1)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的①②③④，那么图中的⑤⑥所对应的运算结果是类型一 归纳推理及应用A.B*D，A*D B.B*D，A*C
C.B*C，A*D D.C*D，A*D解析 由图中①②③④得，A表示“|”，B表示“□”，C表示“—”，D表示“○”，故图中⑤⑥所对应的运算结果分别为B*D和A*C.解析答案√(2)n个连续自然数按规律排列(如图所示).根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是
A.↓→ B.→↑
C.↑→ D.→↓解析 观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为↓→.解析答案√反思与感悟 对于图形中的归纳推理，找准规律特征是解题的关键.跟踪训练1 (1)设n棱柱有f(n)个对角面，则(n＋1)棱柱的对角面的个数f(n＋1)等于
A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2解析答案√(2)观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成.解析答案通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有___根；第n个图形中，火柴棒有______根.133n＋1解析 第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，…，猜想第n个图形有(3n＋1)根火柴棒.命题角度2 数列中的归纳推理解答反思与感悟 数列中的归纳问题要充分利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，这是检验归纳猜想是否正确的根据.跟踪训练2 若在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2(n∈N*)，则猜想an等于解析答案√解析 ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
…，
猜想an＝2n－2(n∈N*).命题角度1 平面几何性质类比立体几何性质类型二 类比推理及应用√解析答案反思与感悟 平面问题类比空间问题时，注意性质的相同性和相似性，注意等面积类比等体积，线线距离类比线面距离或者面面距离.解答命题角度2 等差数列的性质类比等比数列的性质解析答案反思与感悟 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加、减法运算对应等比数列的乘、除法运算，等差数列的乘、除法运算对应等比数列的乘方、开方运算.跟踪训练4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则
T4，___，___， 成等比数列.解析 等差数列类比等比数列时，和类比积，减法类比除法.解析答案达标检测12341.数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为
A.28 B.32
C.33 D.27答案√5解析 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，
所以猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故选B.解析2.若f(n)＝n2＋n＋21，n∈N*，则下列说法正确的是_____.
①f(n)可以为偶数；
②f(n)一定为奇数；
③f(n)可能为质数；
④f(n)一定为合数.解析 f(1)＝12＋1＋21＝23，f(2)＝22＋2＋21＝27，…，f(n)＝n(n＋1)＋21，
所以f(n)有质数，也有合数，一定不是偶数，
所以f(n)一定是奇数.解析答案12345②③3.我们把1,4,9,16,25，…这些数称为正方形数，用图形表示如图所示，则第n个正方形中的点数是___.解析答案12345解析 由题意知，第n个正方形中的点数为n2.n24.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正三棱锥的类似属性是____________________________________________________
_______________.12345答案解析 等腰三角形的底与腰可分别与正三棱锥的底面与侧面类比.解析 各侧面与底面所成的二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等12345答案解析123451.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为本课结束