2.2.2 反证法

课件39张PPT。2.2.2　反证法第二章　§2.2　直接证明与间接证明学习目标
1.了解间接证明的基本方法——反证法.
2.理解反证法的基本模式、思考过程和特点.
3.结合已学过的数学实例，理解反证法的推理过程及其证明数学命题的一般步骤，体会反证法在数学证明中的作用.
4.通过具体实例，体会直接证明与间接证明的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　反证法的定义思考　在用反证法推出矛盾的推导过程中，可以作为条件使用的是
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论.
A.①② B.②③
C.①②③ D.①②④√梳理　一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是 的一种基本方法.原命题矛盾间接证明知识点二　反证法的理论依据思考　反证法解题的实质是什么？答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.梳理　由四种命题的相互关系可知，原命题“若p，则q”与命题“若非q，则非p”互为逆否命题，具有同真同假性，即等价性.根据这一结论，要证原命题“若p，则q”为真，可以改证逆否命题“若非q，则非p”为真，这种证明方法即为反证法.也就是说，若非q(即否定结论，假设结论的反面成立)，则非p(经过推理论证，得出与题设条件相矛盾的结论)，从而根据等价性原则，肯定原命题成立.知识点三　反证法的一般步骤思考　(1)反证法常见的主要矛盾有哪些？答案　常见的主要矛盾有三类：与已知条件矛盾，与假设矛盾(自相矛盾)，与定义、定理、公理及事实矛盾.(2)反证法适用范围主要有哪些方面？答案　一般地，以下几种情况宜用反证法：结论本身是以否定形式出现的命题，结论是以“至多”“至少”形式出现的命题，关于唯一性、存在性的问题，或结论的反面要比原命题更易证明的命题等等.梳理　反证法的证题步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立.
(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定理、公理、定义、事实矛盾等.
(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而证明了结论成立.1.反证法属于间接证明问题的方法.(　　)
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.(　　)
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.(　　)[思考辨析 判断正误]√√×题型探究例1　反证法是
A.从结论的反面出发，推出矛盾的证法
B.对其否命题的证明
C.对其逆命题的证明
D.分析法的证明方法类型一　反证法概念的理解答案解析√解析　反证法是先否定结论，在此基础上，经过正确的推理，最后得出矛盾，从而证明了原命题成立.反思与感悟　对于反证法，其实质是先否定结论，根据否定后的结论，连同题目条件，推出矛盾，从而侧面说明原命题成立.跟踪训练1　(1)命题“在△ABC中，若 ∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是
A.aC.a＝b D.a≥b答案解析√解析　“a>b”的否定应为“a＝b或a①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个是偶数；④假设a，b，c至多有两个是偶数.答案解析解析　“a，b，c中存在偶数”的反面就是“a，b，c中没有偶数”，即“a，b，c都不是偶数”.②命题角度1　证明一般性命题类型二　反证法的应用证明反思与感悟　用反证法证明数学命题步骤：
第一步，写出与命题结论q相矛盾的假设綈q；
第二步，由綈q出发，应用正确的推理，得出矛盾；
第三步，断定产生矛盾的原因在于所作的假设綈q不成立，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.证明从而a＝b＝c，这与a，b，c不成等差数列矛盾，证明命题角度2　证明“至多、至少、唯一性”问题又∵x，y都是正实数，∴x＋y≤2，与x＋y>2矛盾，
∴假设不成立，原命题结论正确.反思与感悟　常用的“原结论词”与“反设词”如下表：跟踪训练3　已知函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明证明　假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根α，β，
即f(α)＝f(β)＝0，且α≠β，不妨设α>β，
∵f(x)在区间[a，b]上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
∴f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明命题角度3　证明否定性命题∴2ac＝bc＋ab. ①
又a，b，c成等差数列，
∴2b＝a＋c. ②
∴2ac＝b(a＋c)＝b·2b，
∴b2＝ac. ③
由②，得4b2＝(a＋c)2，
把③代入上式得4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
把a＝c代入②得b＝a，故a＝b＝c，
∴公差为0，这与已知矛盾.反思与感悟　证明否定性问题常用反证法，例如证明异面直线，可以先假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.证明所以假设不成立，所以原结论成立.达标检测1234答案5解析√解析答案123452.异面直线在同一个平面上的射影不可能是
A.两条平行直线 B.两条相交直线
C.一个点与一条直线 D.同一条直线解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；
BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；
BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.√3.由四种命题的关系可知，反证法的实质是通过________来证明原命题的正确性.答案12345逆否命题12345答案解析4.用反证法证明命题：“若a，b是实数，且|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”时，应作的假设是____________.a≠1或b≠1解析　结论“a＝b＝1”的含义是a＝1且b＝1，故其否定应为“a≠1或b≠1”.12345证明5.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.∴方程2x＝3至少有一个实根.
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，由①－②得2(x1－x2)＝0，∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾.
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.规律与方法本课结束