3.1.1 数系的扩充和复数的概念
文档属性
| 名称 | 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-04 22:44:33 | ||
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文档简介
课件35张PPT。3.1.1 数系的扩充和复数的概念第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标
1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念及其代数形式.
3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.
4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数.梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式.
(2)复数集
①定义： 所成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母 表示.虚数单位虚部z＝a＋bi全体复数C实部z知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案 不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 .a＝c且b＝d知识点四 复数的分类(2)集合表示：1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.复数z＝bi是纯虚数.( )
3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究A.0 B.1
C.2 D.3类型一 数系的扩充与复数的概念解析答案√(2)给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题.
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题.
对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题.
对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题.解析答案√反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
③两个虚数不能比较大小.
是真命题的为_____.(填序号)解析答案①③解析 ②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错.
所以①③正确.类型二 复数的分类解答解 复数z是虚数的充要条件是∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数.解答解 复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时，复数z是纯虚数.(2)纯虚数.解答虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是引申探究
1.若本例条件不变，m为何值时，z为实数.∴当m＝－2时，复数z是实数.解得m＝3或－2.3或－2解析答案反思与感悟 根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视.跟踪训练2 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；解答故当m＝1时，z是零.(2)纯虚数.解答故当m＝0时，z是纯虚数.类型三 复数相等及应用解答解 将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.例3 若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值.反思与感悟 已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解.当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.跟踪训练3 (1)满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为
A.x＝0且y＝3 B.x＝0且y＝－3
C.x＝5且y＝3 D.x＝3且y＝0答案√解析(2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.解答解 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，达标检测12341.已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A.1 B.2
C.3 D.0答案√5解析 易知①正确，②③错误，故选A.解析解析答案12345√解析答案√123454.3i2＋7i的实部为___，虚部为___.12345答案解析 3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.解析－3712345答案解析5.已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝____.－1解得m＝－1.1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.本课结束
1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念及其代数形式.
3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.
4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如x2＋1＝0，为此，人们引进一个新数i，并且规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数.梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式.
(2)复数集
①定义： 所成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母 表示.虚数单位虚部z＝a＋bi全体复数C实部z知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案 不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 .a＝c且b＝d知识点四 复数的分类(2)集合表示：1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.复数z＝bi是纯虚数.( )
3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究A.0 B.1
C.2 D.3类型一 数系的扩充与复数的概念解析答案√(2)给出下列四个命题：
①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③复数3－4i的实部与复数4－3i的虚部相等；④若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3解析 对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不一定成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题.
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题.
对于③，复数3－4i的实部为3，复数4－3i的虚部为－3，因此③为假命题.
对于④，当a＝－1时，(a＋1)i为实数，所以④为假命题，因此四个命题都是假命题.解析答案√反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
③两个虚数不能比较大小.
是真命题的为_____.(填序号)解析答案①③解析 ②当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以②错.
所以①③正确.类型二 复数的分类解答解 复数z是虚数的充要条件是∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数.解答解 复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时，复数z是纯虚数.(2)纯虚数.解答虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是引申探究
1.若本例条件不变，m为何值时，z为实数.∴当m＝－2时，复数z是实数.解得m＝3或－2.3或－2解析答案反思与感悟 根据复数的定义，对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数.要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的另一个必要条件是b≠0，计算中分母不为0也不可忽视.跟踪训练2 已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；解答故当m＝1时，z是零.(2)纯虚数.解答故当m＝0时，z是纯虚数.类型三 复数相等及应用解答解 将原方程整理，得(x2－2ax＋5)＋(x2－2x－3)i＝0.例3 若关于x的方程(1＋i)x2－2(a＋i)x＋5－3i＝0(a∈R)有实数解，求a的值.反思与感悟 已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解.当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.跟踪训练3 (1)满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为
A.x＝0且y＝3 B.x＝0且y＝－3
C.x＝5且y＝3 D.x＝3且y＝0答案√解析(2)已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.解答解 由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，达标检测12341.已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A.1 B.2
C.3 D.0答案√5解析 易知①正确，②③错误，故选A.解析解析答案12345√解析答案√123454.3i2＋7i的实部为___，虚部为___.12345答案解析 3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.解析－3712345答案解析5.已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝____.－1解得m＝－1.1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.本课结束