3.2.2 复数代数形式的乘除运算
文档属性
| 名称 | 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 11:42:39 | ||
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文档简介
课件45张PPT。3.2.2 复数代数形式的乘除运算第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标
1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.
2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.
3.理解并掌握共轭复数的性质及应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律.答案 in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝ .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？梳理 (1)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .z的共轭复数用___表示.若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝ .
(2)共轭复数的性质
①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于 对称.
②实数的共轭复数是 ，即z＝ ?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.实部相等，虚部互为相反数共轭虚数实轴它本身a－bi③若z≠0且z＋ ＝0，则z为 ，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.纯虚数知识点三 复数的除法法则1.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ＝
.
复数的除法的实质是 .若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2.实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数
当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数分母实数化3.虚数的平方根1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )
3.若z1，z2∈C， 则z1＝z2＝0.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数的乘、除法运算命题角度1 复数乘、除法基本运算
例1 (1)i(1－i)2的值等于
A.－4 B.2
C.－2i D.4i解析 i(1－i)2＝i(－2i)＝2.答案√解析解析答案(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案√解析解析答案(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝____.答案解析解析答案1＋i反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，解析答案2由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.解答命题角度2 复数乘除法的灵活运算
例2 计算下列各式：＝1＋(4i)4－i25＝257－i.答案解析解答答案解析解答反思与感悟 复数四则运算的解答策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.答案解析A.i B.－i
C.22 005 D.－22 005答案√解析(2)计算：解答②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*).答案解析解答解 当n＝4k(k∈N*)时，原式＝ ＝2 001.当n≠4k(k∈N*)时，类型二 复数运算的综合应用解答解 设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，例3 试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程.解得x0＝1，故该方程有实根.
根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决.答案解析√答案解析(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为
A.22 B.36
C.38 D.42√解析 ∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.∴p＋q＝38.类型三 共轭复数的概念及其应用A.－2－i B.－2＋i
C.2－i D.2＋i√答案解析(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是____.答案解析答案解析解析 m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，i所以它的共轭复数为i.解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.达标检测12341.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于
A.4＋2i B.2＋i
C.2＋2i D.3＋i答案√5解析 z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.解析解析答案12345√解析答案12345－112345答案解析12345解答5.计算：＝8＋8－16－16i
＝－16i.12345解答1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.规律与方法本课结束
1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.
2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.
3.理解并掌握共轭复数的性质及应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究in(n∈N*)的取值情况及其规律.答案 in(n∈N*)的取值只有i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝ .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？梳理 (1)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的 时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 .z的共轭复数用___表示.若z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝ .
(2)共轭复数的性质
①在复平面内，两个共轭复数对应的点关于 对称.
②实数的共轭复数是 ，即z＝ ?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.实部相等，虚部互为相反数共轭虚数实轴它本身a－bi③若z≠0且z＋ ＝0，则z为 ，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.纯虚数知识点三 复数的除法法则1.复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则 ＝
.
复数的除法的实质是 .若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.
2.实数的平方根
设a∈R，当a＝0时，a的平方根为0；当a>0时，a的平方根是两个实数
当a<0时，a的平方根是两个共轭纯虚数分母实数化3.虚数的平方根1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )
3.若z1，z2∈C， 则z1＝z2＝0.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数的乘、除法运算命题角度1 复数乘、除法基本运算
例1 (1)i(1－i)2的值等于
A.－4 B.2
C.－2i D.4i解析 i(1－i)2＝i(－2i)＝2.答案√解析解析答案(2)若复数z满足(1－z)(1＋2i)＝i，则在复平面内表示复数z的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限答案√解析解析答案(3)若复数z满足(1＋i)·z＝2i(i为虚数单位)，则复数z＝____.答案解析解析答案1＋i反思与感悟 (1)两个复数代数形式乘法的一般运算方法：首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R).
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).
③(1±i)2＝±2i.解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，解析答案2由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.解答命题角度2 复数乘除法的灵活运算
例2 计算下列各式：＝1＋(4i)4－i25＝257－i.答案解析解答答案解析解答反思与感悟 复数四则运算的解答策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算法则可以类比多项式的运算法则，除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.答案解析A.i B.－i
C.22 005 D.－22 005答案√解析(2)计算：解答②1＋in＋i2n＋…＋i2 000n(n∈N*).答案解析解答解 当n＝4k(k∈N*)时，原式＝ ＝2 001.当n≠4k(k∈N*)时，类型二 复数运算的综合应用解答解 设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，例3 试判断方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根，并解该方程.解得x0＝1，故该方程有实根.
根据根与系数的关系，得方程的两个根分别为1,3－2i.反思与感悟 根据复数相等的充要条件解决复系数方程是否有实根问题时，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，化复数问题为实数问题来解决.答案解析√答案解析(2)已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，则p＋q的值为
A.22 B.36
C.38 D.42√解析 ∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0.∴p＋q＝38.类型三 共轭复数的概念及其应用A.－2－i B.－2＋i
C.2－i D.2＋i√答案解析(2)若复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模是____.答案解析答案解析解析 m，n∈R，且m＋2i＝2－ni，
可得m＝2，n＝－2，i所以它的共轭复数为i.解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.达标检测12341.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于
A.4＋2i B.2＋i
C.2＋2i D.3＋i答案√5解析 z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i.解析解析答案12345√解析答案12345－112345答案解析12345解答5.计算：＝8＋8－16－16i
＝－16i.12345解答1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.规律与方法本课结束