第2章 推理与证明章末复习（30张PPT）

课件30张PPT。章末复习第二章　推理与证明学习目标
1.理解合情推理和演绎推理.
2.会用直接证明和间接证明方法证明问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.
2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.部分整体个别一般特殊特殊一般特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理，
② ——所研究的特殊情况，
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法大前提小前提结论1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(　　)
2.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(　　)
3.一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*).(　　)
4.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们的面积之比为1∶4类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.(　　)[思考辨析 判断正误]×√×√5.在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(　　)
6.命题“对任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了综合法.(　　)×√题型探究例1　有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________.类型一　合情推理的应用f(n)＝n3答案解析解析　由于1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.反思与感悟　(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列问题中的常见类型.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1　观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式应为______________________________.n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2答案解析解析　把已知等式与行数对应起来，则每个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n－1；右边都是完全平方数，
　　　　　　　　　　　 行数　　等号左边的项数
1＝1 1 1
2＋3＋4＝9 2 3
3＋4＋5＋6＋7＝25 3 5
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 4 7
…… …… ……
所以n＋(n＋1)＋…＋[n＋(2n－1)－1]＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
故填n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.例2　已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.类型二　综合法与分析法证明　构造函数f(x)＝(bc－1)x－b－c＋2(x∈(－1,1))，
则f(1)＝(bc－1)－b－c＋2＝(b－1)(c－1).
∵|b|<1，|c|<1，∴f(1)>0.
又∵bc－1<0，∴f(x)在(－1,1)上为减函数.
∴f(x)在(－1,1)上恒大于0.
∵|a|<1，∴f(a)>0.
∴(bc－1)a－b－c＋2>0，即abc＋2>a＋b＋c.证明反思与感悟　根据待证不等式的结构特点构造函数，将此问题转化为函数问题，再利用函数的图象与性质解决问题.跟踪训练2　设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明　要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立.
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立.
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立.
即a3＋b3>a2b＋ab2.证明类型三　反证法证明　假设x0是f(x)＝0的负根，证明所以假设不成立.
故方程f(x)＝0没有负根.反思与感悟　当结论为否定形式的命题时，常常借助于反证法进行证明，如将方程f(x)＝0没有负根，假设为方程f(x)＝0存在负根x0，然后利用已知条件和假设结论进行推理，推出的结果同已知条件或已成立的事实矛盾，从而得出“假设不成立”的结论.跟踪训练3　已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.证明　假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0且Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.证明达标检测12341.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9 B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1 D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10答案√解析解析　由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N*)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.5答案解析√12345123453.下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是
A.有一个解 B.有两个解
C.至少有三个解 D.至少有两个解答案√解析　“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故选C.解析12345答案4.在等差数列{an}中，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*).类比以上结论，在等比数列{bn}中，类似的结论是_________________________.12345答案5.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________________________成立.b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析12345解析　在等差数列{an}中，由a10＝0，得
a1＋a19＝a2＋a8＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0(n<19，n∈N*)，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n.
相应地，在等比数列{bn}中，则可得b1b2…bn＝b1b2…·b17－n(n<17，n∈N*).12345规律与方法1.归纳推理和类比推理都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式，也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．本课结束