第1讲 1 平行线等分线段定理
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课件26张PPT。一 平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.
2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.
3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？
提示 (1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.提示 BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理相等相等A′B′＝B′C′2.推论1平行平分3.推论2平行平分要点一 平行线等分线段定理
例1 如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明 如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法 解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1 如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝( )A.3 B.6 C.9 D.4
解析 如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.
答案 B要点二 平行线等分线段定理的推论
例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.
求证：MN＝NB.规律方法 证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.证明 过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，
∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.
∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.
∴ME是AB的垂直平分线.
∴AM＝BM.要点三 平行线等分线段定理的综合应用
例3 已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.
求证：DE＝EF.证明 (1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，规律方法 这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.
(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.
(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法
(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；
(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.
3.在几何证明中添加辅助线的方法
(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；
(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.解析 由平行线等分线段定理知CE＝ED.
答案 C答案 C3.下列结论正确的是________.(1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(3)如图(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
解析 由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.
答案 (1)，(2)，(3)
2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.
3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？
提示 (1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.提示 BG AC DC[预习导引]1.平行线等分线段定理相等相等A′B′＝B′C′2.推论1平行平分3.推论2平行平分要点一 平行线等分线段定理
例1 如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明 如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法 解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1 如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝( )A.3 B.6 C.9 D.4
解析 如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.
答案 B要点二 平行线等分线段定理的推论
例2 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.
求证：MN＝NB.规律方法 证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.证明 过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，
∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.
∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.
∴ME是AB的垂直平分线.
∴AM＝BM.要点三 平行线等分线段定理的综合应用
例3 已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.
求证：DE＝EF.证明 (1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，规律方法 这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.
(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.
(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法
(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；
(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.
3.在几何证明中添加辅助线的方法
(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；
(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.解析 由平行线等分线段定理知CE＝ED.
答案 C答案 C3.下列结论正确的是________.(1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
(3)如图(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.
解析 由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.
答案 (1)，(2)，(3)