第1讲 相似三角形的判定及有关性质复习
文档属性
| 名称 | 第1讲 相似三角形的判定及有关性质复习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 12:29:58 | ||
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文档简介
课件38张PPT。讲末复习1.平行线等分线段定理
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等
推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.
(2)中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.
推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
(2)三角形内角平分线定理
定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于夹这个角的两边比.3.相似三角形的判定(1)相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应边的比值称为相似比.
(2)预备定理
定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
利用本定理可以证明相似三角形的判定定理.(3)相似三角形判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似.即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即：三边对应成比例，两三角形相似.(4)直角三角形相似的判定定理
定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似.
定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似.4.相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例.
性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比.
性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方.5.直角三角形的射影定理(1)射影的概念
从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正射影，简称射影.
一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段.(2)直角三角形射影定理和逆定理
定理：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.题型一 构造法
添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等结构.规律方法 多边形的问题常转化为三角形问题去解决，本题从已知条件出发，构造了等腰三角形，使求四边形的面积问题转化为求三角形的面积.题型二 化归法
转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明.规律方法 对于(1)，判断△ABC的形状，由题意转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ的面积无法直接利用面积公式求解，但可通过S△PQC＝S△BPC－S△PBQ，将问题转化为求S△PBQ、S△BPC.题型三 分类讨论法
当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论.例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进行讨论.跟踪演练3 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条.答案 4题型四 方程法
方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.答案 1规律方法 将几何图形的比例相等关系转化为方程，是解决平面几何问题常用路子.体验高考答案 32.(2015·广东高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.答案 83.(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.答案 35.(2014·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于点B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.答案 46.(2015·江苏高考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等
推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰.
(2)中位线定理
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例.
推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
(2)三角形内角平分线定理
定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于夹这个角的两边比.3.相似三角形的判定(1)相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应边的比值称为相似比.
(2)预备定理
定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
利用本定理可以证明相似三角形的判定定理.(3)相似三角形判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.即：两角对应相等，两三角形相似.
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么，这两个三角形相似.即：两对应边成比例且夹角相等，两三角形相似.
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即：三边对应成比例，两三角形相似.(4)直角三角形相似的判定定理
定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它们相似.
定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.
定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似.4.相似三角形的性质性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例.
性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比.
性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似比的平方.5.直角三角形的射影定理(1)射影的概念
从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线上的正射影，简称射影.
一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的两个端点在这条直线上的射影间的线段.(2)直角三角形射影定理和逆定理
定理：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.题型一 构造法
添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等结构.规律方法 多边形的问题常转化为三角形问题去解决，本题从已知条件出发，构造了等腰三角形，使求四边形的面积问题转化为求三角形的面积.题型二 化归法
转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间比来转化证明.规律方法 对于(1)，判断△ABC的形状，由题意转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ的面积无法直接利用面积公式求解，但可通过S△PQC＝S△BPC－S△PBQ，将问题转化为求S△PBQ、S△BPC.题型三 分类讨论法
当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论.例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长是2，怎样选料可使这两个三角形相似？规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进行讨论.跟踪演练3 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线有________条.答案 4题型四 方程法
方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.答案 1规律方法 将几何图形的比例相等关系转化为方程，是解决平面几何问题常用路子.体验高考答案 32.(2015·广东高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.答案 83.(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.答案 35.(2014·重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于点B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.答案 46.(2015·江苏高考)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.