第3讲 圆锥曲线性质的探讨
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课件40张PPT。[学习目标]1.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影.
2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.
4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.
5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.[知识链接]1.一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？
提示 圆.
2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？
提示 椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？
提示 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.
4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？
提示 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.[预习导引]1.正射影(1)定义：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′.称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影.
(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影3.定理14.椭圆(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的夹角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且φ，θ均为定值.5.定理26.圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a).
(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a).
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.7.圆锥曲线的几何性质要点一 正投影
例1 P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影.
(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？
(2)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？
(3)若PA，PB，PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？规律方法 确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射影的位置.在解决此类问题时，一定要全面考虑.跟踪演练1 已知l1，l2为不垂直的异面直线，α是一个平面，则l1，l2在平面α上的正射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.
其中结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).解析 如图所示，可知①②④正确，而对于③，若两直线的正射影是同一条直线，则两直线必共面，这与l1，l2异面矛盾，∴③错.故填①②④.答案 ①②④要点二 平行投影
例2 如图所示，边长为20的正△ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.解 设BD，CE是点B，C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α，BD＝10，CE＝5，由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，∴B，D，E，C共面.∵BD≠CE，∴BC，DE必相交，设交点为F.∵DF?α，∴F∈α.∵BC?平面ABC，
∴F∈平面ABC，∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.规律方法 在必修中，我们讨论了点、直线在平面上的射影，也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2 有下列4个命题：①矩形的平行射影一定是矩形；②矩形的正射影一定是矩形；③梯形的平行射影一定是梯形；④梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立.②矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.③梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确.④中梯形的中正射影可能是梯形、线段，因而梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的.故选A.
答案 A规律方法 判断平面与圆锥面的截线的形状的方法：
(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴线的夹角β；
(2)判断α与β的大小关系；
(3)根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3 在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析 由于平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆.
答案 B跟踪演练4 如图，讨论其中双曲线的离心率，其中π′是Dandelin球与圆锥面交线S2所在的平面，与π的交线为m.1.一个平面图形在平面α上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段；所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆.1.下列说法正确的是( )A.两条相交直线的平行射影还是相交直线
B.两条平行直线的平行射影还是平行直线
C.线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点
D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线
解析 两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，A错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，B错，角的平分线的平行射影可能与角的两边重合，不一定是该角平行射影的平分线，D错；C对.
答案 C答案 C3.在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π和圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的________.解析 根据焦球的定义知，两切点是所得圆锥曲线的焦点.
答案 两焦点
2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念，进而掌握圆柱面的性质.
4.在一般截面的几何性质的探究中，体验使用焦球的意义，逐步培养对几何图形中不变量的研究意识.
5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明，从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线.[知识链接]1.一个圆所在的平面α与平面β平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？
提示 圆.
2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时，该圆在平面β上的正射影是什么图形？
提示 椭圆.3.回想一下，椭圆是如何定义的？
提示 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.
4.用一个平面去截一个圆柱，截面将是怎样一个平面图形？
提示 用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆，当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆，当平面与圆柱两底面垂直时，截面是一个矩形.[预习导引]1.正射影(1)定义：给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′.称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影.
(2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是一条线段，其长度等于圆的直径.2.平行射影3.定理14.椭圆(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的夹角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的，且φ，θ均为定值.5.定理26.圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a).
(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a).
(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等.7.圆锥曲线的几何性质要点一 正投影
例1 P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的正射影.
(1)若P点到△ABC的三个顶点等距离，那么O点是△ABC的什么心？
(2)若P点到△ABC的三边距离相等，且O点在△ABC的内部，那么O点是△ABC的什么心？
(3)若PA，PB，PC两两互相垂直，O点是△ABC的什么心？规律方法 确定一个几何图形的正射影，其实质是确定其边界点的正射影的位置.在解决此类问题时，一定要全面考虑.跟踪演练1 已知l1，l2为不垂直的异面直线，α是一个平面，则l1，l2在平面α上的正射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.
其中结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).解析 如图所示，可知①②④正确，而对于③，若两直线的正射影是同一条直线，则两直线必共面，这与l1，l2异面矛盾，∴③错.故填①②④.答案 ①②④要点二 平行投影
例2 如图所示，边长为20的正△ABC的顶点A在平面α内，B，C在平面α同侧，且B，C到α的距离分别是10和5，求△ABC所在平面和α所成的二面角的大小.解 设BD，CE是点B，C到平面α的距离，则BD⊥α，CE⊥α，BD＝10，CE＝5，由直线与平面垂直的性质，得BD∥CE，∴B，D，E，C共面.∵BD≠CE，∴BC，DE必相交，设交点为F.∵DF?α，∴F∈α.∵BC?平面ABC，
∴F∈平面ABC，∴F是平面ABC和平面α的又一公共点.规律方法 在必修中，我们讨论了点、直线在平面上的射影，也就是正射影，因而利用平行投影及其性质可以讨论立体几何中有关射影问题，如直线与平面所成的角、二面角的大小等.跟踪演练2 有下列4个命题：①矩形的平行射影一定是矩形；②矩形的正射影一定是矩形；③梯形的平行射影一定是梯形；④梯形的正射影一定是梯形.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①矩形的平行射影可以是矩形、平行四边形或线段，因而一定是矩形不成立.②矩形的正射影也有矩形、平行四边形、线段三种情况，因而矩形的正射影一定是矩形不正确.③梯形的平行射影可以是梯形、线段，因而梯形的平行射影一定是梯形不正确.④中梯形的中正射影可能是梯形、线段，因而梯形的正射影一定是梯形的说法是错误的.故选A.
答案 A规律方法 判断平面与圆锥面的截线的形状的方法：
(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴线的夹角β；
(2)判断α与β的大小关系；
(3)根据定理2判断截线是什么曲线.跟踪演练3 在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析 由于平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆.
答案 B跟踪演练4 如图，讨论其中双曲线的离心率，其中π′是Dandelin球与圆锥面交线S2所在的平面，与π的交线为m.1.一个平面图形在平面α上的射影形状取决于该平面图形所在平面与投影平面的空间关系：所在平面与投影平面平行，射影图形与原图形全等，圆的射影仍然是圆；所在平面与投影平面垂直，射影图形是一条直线或线段或点，圆的射影是线段；所在平面与投影平面斜交，圆的射影是椭圆.1.下列说法正确的是( )A.两条相交直线的平行射影还是相交直线
B.两条平行直线的平行射影还是平行直线
C.线段中点的平行射影仍然是该线段平行射影的中点
D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线
解析 两条相交直线的平行射影可能是相交直线，也可能是一条直线，A错，两条平行直线的平行射影可能是平行直线，也可能是一条直线，甚至是两个点，B错，角的平分线的平行射影可能与角的两边重合，不一定是该角平行射影的平分线，D错；C对.
答案 C答案 C3.在圆锥的内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π和圆锥面均相切，则两切点是所得圆锥曲线的________.解析 根据焦球的定义知，两切点是所得圆锥曲线的焦点.
答案 两焦点