第1讲 1 平面直角坐标系
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课件37张PPT。一 平面直角坐标系
第一讲 坐标系学习目标
1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面直角坐标系答案 直角坐标系；
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？答案 建立平面直角坐标系；
通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？梳理 (1)平面直角坐标系的概念
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.
②相关概念：
数轴的正方向：水平放置的数轴 的方向、竖直放置的数轴 的方向分别是数轴的正方向.
x轴或横轴：坐标轴 的数轴.
y轴或纵轴：坐标轴 的数轴.
坐标原点：坐标轴的 .
③对应关系：平面直角坐标系内的点与 之间一一对应.向右水平向上竖直公共点O有序实数对(x,y)
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 _____结论.几何代数几何思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为 _______伸缩变换，这就是用 研究 变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任坐标的代数方法几何φ题型探究命题角度1 研究几何问题
例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.类型一 坐标法的应用证明证明 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.跟踪训练1 在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.证明命题角度2 求轨迹方程
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝ |PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解答解 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0).
设P(x，y)，则|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1，
|PN|2＝|O2P|2－|O2N|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝ |PN|，∴|PM|2＝2|PN|2，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.
∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为 ，求顶点A的轨迹方程.解答例3 求圆x2＋y2＝1经过φ： 变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.类型二 伸缩变换解答解答引申探究
1.若曲线C经过 变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.∴(x′，y′)满足x2＋y2＝1，即x′2＋y′2＝1.解答2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′： ，求φ的坐标变换公式．反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换．解答得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.达标检测答案1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是 12345√答案解析2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换 后，所得曲线为
A.y＝sin x B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x D.y＝9sin x12345即y′＝9sin x′.故选D.√答案3.已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则点D的坐标是
A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) D.(2,2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
设D(x，y)，12345故点D的坐标为(1,3)．√解析4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程
为________________．12345答案解析解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，
∴|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.
∴a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5.123455.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则AC⊥BC.证明证明 设AB＝2r，线段AB的中心为O，以线段AB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝r2.
设A(－r，0)，B(r，0)，C(x，y)，又x2＋y2＝r2，所以y2＝r2－x2，所以AC⊥BC.123451.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征．
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系．规律与方法本课结束
第一讲 坐标系学习目标
1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 平面直角坐标系答案 直角坐标系；
在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？答案 建立平面直角坐标系；
通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？梳理 (1)平面直角坐标系的概念
①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.
②相关概念：
数轴的正方向：水平放置的数轴 的方向、竖直放置的数轴 的方向分别是数轴的正方向.
x轴或横轴：坐标轴 的数轴.
y轴或纵轴：坐标轴 的数轴.
坐标原点：坐标轴的 .
③对应关系：平面直角坐标系内的点与 之间一一对应.向右水平向上竖直公共点O有序实数对(x,y)
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 元素，将几何问题转化为 问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 _____结论.几何代数几何思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为 _______伸缩变换，这就是用 研究 变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任坐标的代数方法几何φ题型探究命题角度1 研究几何问题
例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.类型一 坐标法的应用证明证明 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.跟踪训练1 在?ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.证明命题角度2 求轨迹方程
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝ |PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解答解 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0).
设P(x，y)，则|PM|2＝|O1P|2－|O1M|2＝(x＋2)2＋y2－1，
|PN|2＝|O2P|2－|O2N|2＝(x－2)2＋y2－1.
∵|PM|＝ |PN|，∴|PM|2＝2|PN|2，
∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.
∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为 ，求顶点A的轨迹方程.解答例3 求圆x2＋y2＝1经过φ： 变换后得到的新曲线的方程，并说明新曲线的形状.类型二 伸缩变换解答解答引申探究
1.若曲线C经过 变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.∴(x′，y′)满足x2＋y2＝1，即x′2＋y′2＝1.解答2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′： ，求φ的坐标变换公式．反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换．解答得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.达标检测答案1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是 12345√答案解析2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 2x经过伸缩变换 后，所得曲线为
A.y＝sin x B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x D.y＝9sin x12345即y′＝9sin x′.故选D.√答案3.已知?ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则点D的坐标是
A.(9，－1) B.(－3,1) C.(1,3) D.(2,2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
设D(x，y)，12345故点D的坐标为(1,3)．√解析4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程
为________________．12345答案解析解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，
∴|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.
∴a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5.123455.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则AC⊥BC.证明证明 设AB＝2r，线段AB的中心为O，以线段AB所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝r2.
设A(－r，0)，B(r，0)，C(x，y)，又x2＋y2＝r2，所以y2＝r2－x2，所以AC⊥BC.123451.平面直角坐标系的作用与建立
平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台，建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的对称性等特征．
2.伸缩变换的类型与特点
伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系．规律与方法本课结束