第1讲 3 第1课时 圆的极坐标方程
文档属性
| 名称 | 第1讲 3 第1课时 圆的极坐标方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 12:42:42 | ||
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文档简介
课件37张PPT。第1课时 圆的极坐标方程第一讲 三 简单曲线的极坐标方程学习目标
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握圆的极坐标方程.
3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)在极坐标系中，如果曲线C上 的极坐标中 有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的 .
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程.知识点一 曲线的极坐标方程任意一点至少都在曲线C上极坐标方程知识点二 圆的极坐标方程答案 不一定.思考1 在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案 ρ＝2.思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？梳理 圆的极坐标方程r2rcos θ2rsin θ－2rcos θ－ 2rsin θ题型探究例1 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程.类型一 求圆的极坐标方程解答解 在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为引申探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程.解 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，
即ρ2＝6ρcos θ－5.
当O，P，C共线时此方程也成立.解答反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ).
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简.
(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为r＝3.求圆C的极坐标方程.解 设M(ρ，θ)为圆C上任一点，
易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，解答命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)x2＋y2＝1；类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化解答∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，
∴ρ2＝1，即ρ＝1.解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.(2)x2＋y2－4x＋4＝0；(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.解答解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.
∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)y2＝4x；解答解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)x2＋y2－2x－1＝0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.解答(1)ρ2cos 2θ＝1； 解 ∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴x－y－1＝0.解答解答反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
(1)x2＋y2－2x＝0；解答解 ∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.解 ∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(2)ρ＝cos θ－2sin θ；解 ∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.(3)ρ2＝cos2θ.解答例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程；类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用解答由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)若曲线ρsin ＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值.即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.解答反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程.跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______.答案(1,1)达标检测答案1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3 B. C.1 D.12345√2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝112345√答案答案解析3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是 12345√解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，
圆心坐标为(0,1)，∴它表示的曲线为抛物线.4.4ρsin2 ＝5表示的曲线是
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线 12345答案解析√123455.在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为1，求圆C的极坐标方程.解答12345解 在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，
由余弦定理可得
CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，当O，P，C共线时，此方程也成立，1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程规律与方法本课结束
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握圆的极坐标方程.
3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)在极坐标系中，如果曲线C上 的极坐标中 有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的 .
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程.知识点一 曲线的极坐标方程任意一点至少都在曲线C上极坐标方程知识点二 圆的极坐标方程答案 不一定.思考1 在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案 ρ＝2.思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？梳理 圆的极坐标方程r2rcos θ2rsin θ－2rcos θ－ 2rsin θ题型探究例1 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程.类型一 求圆的极坐标方程解答解 在圆周上任取一点P(如图)，
设其极坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理知，
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为引申探究
若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极坐标方程.解 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，
则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos ∠COP，
∴22＝ρ2＋9－6ρcos θ，
即ρ2＝6ρcos θ－5.
当O，P，C共线时此方程也成立.解答反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤
(1)设圆上任意一点的极坐标为M(ρ，θ).
(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简.
(3)验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为r＝3.求圆C的极坐标方程.解 设M(ρ，θ)为圆C上任一点，
易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，
∴△OCM为等腰三角形，解答命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程
例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)x2＋y2＝1；类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化解答∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝1，
∴ρ2＝1，即ρ＝1.解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－4ρcos θ＋4＝0，
∴ρ2－4ρcos θ＋4＝0.(2)x2＋y2－4x＋4＝0；(3)x2＋y2－2x－2y－2＝0.解答解 ∵(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.
∴ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ<2π范围内求值.解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程.
(1)y2＝4x；解答解 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ.(2)x2＋y2－2x－1＝0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程
例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程.解答(1)ρ2cos 2θ＝1； 解 ∵ρ2cos 2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1.∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0.
又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴x－y－1＝0.解答解答反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.
(1)x2＋y2－2x＝0；解答解 ∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcos θ＝0.∴ρ＝2cos θ.解 ∵ρ＝cos θ－2sin θ，∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.
∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(2)ρ＝cos θ－2sin θ；解 ∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.(3)ρ2＝cos2θ.解答例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程；类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用解答由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)若曲线ρsin ＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值.即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.解答反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程.跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______.答案(1,1)达标检测答案1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3 B. C.1 D.12345√2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝112345√答案答案解析3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是 12345√解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－1)2＝1，
圆心坐标为(0,1)，∴它表示的曲线为抛物线.4.4ρsin2 ＝5表示的曲线是
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线 12345答案解析√123455.在极坐标系中，已知圆C的圆心为C ，半径为1，求圆C的极坐标方程.解答12345解 在圆C上任取一点P(ρ，θ)，在△POC中，
由余弦定理可得
CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，当O，P，C共线时，此方程也成立，1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程规律与方法本课结束