第1讲 4 柱坐标系与球坐标系简介
文档属性
| 名称 | 第1讲 4 柱坐标系与球坐标系简介 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 15:52:49 | ||
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文档简介
课件35张PPT。四 柱坐标系与球坐标系简介第一讲 坐标系学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.
2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.
3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 柱坐标系答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？梳理 柱坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间
任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)
(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这
时点P的位置可用有序数组 (z∈R)表示，
这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)
之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作 ，其中____________________.(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ<2π，z∈RP(ρ，θ，z)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x = ______，
y = ______ ，
z = ___.zρcos θρsin θ思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.知识点二 球坐标系答案 可以.梳理 球坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意
一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角
为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方
向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置
就可以用有序数组 表示.这样，空间的点与
有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建
立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作 ，其中 .r，φ，θr≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2πP(r，φ，θ)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x = _________，
y = _________，
z = _____.rcos φrsin φcos θrsin φsin θ题型探究例1 (1)已知点A的直角坐标为(－1， ，4)，求它的柱坐标；类型一 柱坐标与直角坐标的互化解答(2)已知点P的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝ ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；解答(2)已知点N的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答故点N的直角坐标为(0,2,3).例2 (1)已知点P的球坐标为 ，求它的直角坐标；类型二 球坐标与直角坐标的互化解答解 由变换公式，得(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2 )，求它的球坐标.解答解 由坐标变换公式，可得反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式 求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝ ，cos φ＝ 来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标.解答解 设点的直角坐标为(x，y，z).解答例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为 ，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标.类型三 求点的坐标解答设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式.
(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.跟踪训练3 在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.解答解 C的直角坐标为(1,1,0)，
设C的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π).达标检测答案1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 ，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为 12345√2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为 12345答案√3.在球坐标系中，方程r＝2表示空间的
A.球 B.球面 C.圆 D.直线12345答案√4.点P的柱坐标为 ，则点P到原点的距离为_____.12345答案解析5123455.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝____，tan θ＝____.答案解析2解析 如图所示，1.空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.规律与方法2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.本课结束
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征.
2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式.
3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 柱坐标系答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.思考 要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？梳理 柱坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间
任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)
(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这
时点P的位置可用有序数组 (z∈R)表示，
这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)
之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作 ，其中____________________.(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ<2π，z∈RP(ρ，θ，z)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
x = ______，
y = ______ ，
z = ___.zρcos θρsin θ思考 要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.知识点二 球坐标系答案 可以.梳理 球坐标系的概念
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意
一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角
为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方
向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置
就可以用有序数组 表示.这样，空间的点与
有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建
立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作 ，其中 .r，φ，θr≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2πP(r，φ，θ)(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
x = _________，
y = _________，
z = _____.rcos φrsin φcos θrsin φsin θ题型探究例1 (1)已知点A的直角坐标为(－1， ，4)，求它的柱坐标；类型一 柱坐标与直角坐标的互化解答(2)已知点P的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答反思与感悟 (1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝ ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；解答(2)已知点N的柱坐标为 ，求它的直角坐标.解答故点N的直角坐标为(0,2,3).例2 (1)已知点P的球坐标为 ，求它的直角坐标；类型二 球坐标与直角坐标的互化解答解 由变换公式，得(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2 )，求它的球坐标.解答解 由坐标变换公式，可得反思与感悟 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式 求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝ ，cos φ＝ 来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.跟踪训练2 把下列各点的球坐标化为直角坐标.解答解 设点的直角坐标为(x，y，z).解答例3 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为 ，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标.类型三 求点的坐标解答设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，反思与感悟 (1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式.
(2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.跟踪训练3 在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.解答解 C的直角坐标为(1,1,0)，
设C的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π).达标检测答案1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 ，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为 12345√2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为 12345答案√3.在球坐标系中，方程r＝2表示空间的
A.球 B.球面 C.圆 D.直线12345答案√4.点P的柱坐标为 ，则点P到原点的距离为_____.12345答案解析5123455.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝____，tan θ＝____.答案解析2解析 如图所示，1.空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.规律与方法2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.本课结束