第1讲 复习课
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课件39张PPT。第一讲 坐标系复习课学习目标
1.复习回顾坐标系的重要知识点.
2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.
3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
或顺便指出，上式对ρ<0也成立.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.题型探究类型一 求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C ，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；解答解 设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上.解答解 设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系.跟踪训练1 在极坐标系中，过点 作圆ρ＝4sin θ的切线，求切线的极坐标方程.解答设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcos θ＝2.类型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；解答解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解答解 由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度.
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcos θ，ρsin θ，tan θ，以方便用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y及tan θ＝ 代入化简.跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3， )，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程.解答故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cos θ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.类型三 极坐标的综合应用解答解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)，(ρ2cos θ2，ρ2sin θ2).(2)求△AOB面积的最大值和最小值.解答解 在△AOB中，OA⊥OB.当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系.建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量.
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题.跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数.证明证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系.设A的极坐标为(ρ1，θ)，则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，达标检测1.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝1，ρ＝4cos θ ，则曲线C1与C2交点的极坐标为_______.答案12342.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为___.解析答案1234解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，12343.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|＝______.答案12344.已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin ＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；解答解 由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆.所以C2表示直线.1234(2)求C1，C2交点间的距离.1234故直线与圆相交，＝62.极坐标方程的求法，可以用直接法即直接去求极坐标方程，也可以先求曲线的直角坐标方程，再利用互化公式，将直角坐标方程化为极坐标方程.
3.要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁.本课结束
1.复习回顾坐标系的重要知识点.
2.进一步熟练极坐标方程的求法，能熟练进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.
3.能应用极坐标解决相关问题，并体会极坐标在解决有关问题时的优越性.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
或顺便指出，上式对ρ<0也成立.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.曲线极坐标方程的求法
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.题型探究类型一 求曲线的极坐标方程例1 在极坐标系中，已知圆C的圆心C ，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；解答解 设M(ρ，θ)是圆C上除O(0,0)以外的任意一点，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM，经检验，点O(0,0)也在此方程所表示的圆上.解答解 设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ0，θ0)，反思与感悟 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系.跟踪训练1 在极坐标系中，过点 作圆ρ＝4sin θ的切线，求切线的极坐标方程.解答设P(ρ，θ)是切线上除点N以外的任意一点，又N(2,0)满足上式，故所求切线的极坐标方程为ρcos θ＝2.类型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；解答解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解答解 由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，反思与感悟 (1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度.
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，要注意凑出：ρcos θ，ρsin θ，tan θ，以方便用ρcos θ＝x，ρsin θ＝y及tan θ＝ 代入化简.跟踪训练2 已知点A，B的直角坐标分别为(2,0)，(3， )，求以A为圆心，过点B的圆的极坐标方程.解答故圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2＝4x.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝4x，
化简得ρ＝4cos θ，
所以所求圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.类型三 极坐标的综合应用解答解 以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.则A，B两点的直角坐标分别为(ρ1cos θ1，ρ1sin θ1)，(ρ2cos θ2，ρ2sin θ2).(2)求△AOB面积的最大值和最小值.解答解 在△AOB中，OA⊥OB.当sin22θ1＝0时，(ρ1ρ2)2的最大值为a2b2，反思与感悟 (1)用极坐标解决问题的关键是建立适当的极坐标系.建系的原则是有利用极径、极角表示问题中的量.
(2)用极坐标解决问题，并不能忽视极坐标与直角坐标间的互化问题.跟踪训练3 用极坐标法证明：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数.证明证明 设F为抛物线的焦点，AB是过焦点F的弦，焦点到准线的距离为ρ.
以F为极点，Fx为极轴，建立如图所示的极坐标系.设A的极坐标为(ρ1，θ)，则B的极坐标为(ρ2，θ＋π)，达标检测1.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝1，ρ＝4cos θ ，则曲线C1与C2交点的极坐标为_______.答案12342.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.若△AOB是等边三角形，则a的值为___.解析答案1234解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，12343.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为 ，则|CP|＝______.答案12344.已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin ＝6，
(1)化C1，C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；解答解 由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，所以x2＋y2＝100，
所以C1为圆心是(0,0)，半径是10的圆.所以C2表示直线.1234(2)求C1，C2交点间的距离.1234故直线与圆相交，＝6
3.要充分体会极坐标的优势，有些问题，用极坐标解决就比较方便简洁.本课结束