第2讲 1 第2课时 参数方程和普通方程的互化
文档属性
| 名称 | 第2讲 1 第2课时 参数方程和普通方程的互化 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 12:45:44 | ||
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文档简介
课件40张PPT。第2课时 参数方程和普通方程的互化第二讲 一 曲线的参数方程学习目标
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？知识点 参数方程和普通方程的互化答案 用普通方程比较方便.思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案 关键是消参数.梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲线的参数方程.消去参数x＝f(t)y＝g(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.题型探究例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.类型一 参数方程化为普通方程解答得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.解答解答所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.解答跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：∴x≥2或x≤－2，
∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2).解答两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，
即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.例2 已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程.
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；类型二 普通方程化为参数方程解答解 过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtan θ，当x＝0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtan θ＝2cos θ·sin θ＝sin 2θ.(2)设x＝2m，m为参数.解答解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ(由θ的任意性可取x＝2cos θ).(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，例3 已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)求3x＋4y的最大值和最小值；类型三 参数方程与普通方程互化的应用∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.解答解答(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.
(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－4 ρcos ＋6＝0.
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；解答解 直线l的方程为x－y＋4＝0，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0.所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.解答达标检测1.若点P在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤ ，ρ>0，则点P的轨迹是
A.直线x＋2y＝3
B.以(3,0)为端点的射线
C.圆(x－1)2＋y2＝1
D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段答案12345√2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)12345√解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].答案解析3.参数方程 (θ为参数)表示的曲线的普通方程是________
____________.12345(－1≤x≤1)y2＝x＋1答案4.将参数方程 (t为参数)化成普通方程为_______________.12345答案解析x2－y＝2(y≥2)12345答案解析圆解析 x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆.5.参数方程 (φ为参数)表示的图形是____.1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.规律与方法3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.规与方法本课结束
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能根据参数方程与普通方程的互化灵活解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考1 要判断一个点是否在曲线上，你觉得用参数方程方便还是用普通方程方便？知识点 参数方程和普通方程的互化答案 用普通方程比较方便.思考2 把参数方程化为普通方程的关键是什么？答案 关键是消参数.梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化
①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程；
②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如 ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 ，那么 就是曲线的参数方程.消去参数x＝f(t)y＝g(t)(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法
①代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；
②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；
③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.
特别提醒：化参数方程为普通方程F(x，y)＝0，在消参过程中注意变量x，y的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)的值域得x，y的取值范围.题型探究例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状.类型一 参数方程化为普通方程解答得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线.解答解答所以所求的方程为x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).所以x＋y＝1(x≠－1，y≠2).
方程表示直线(去掉一点(－1,2)).反思与感悟 消去参数方程中参数的技巧
(1)加减消参数法：如果参数方程中参数的符号相等或相反，常常利用两式相减或相加的方法消去参数.
(2)代入消参数法：利用方程思想，解出参数的值，代入另一个方程消去参数的方法，称为代入消参法，这是非常重要的消参方法.
(3)三角函数式消参数法：利用三角函数基本关系式sin2θ＋cos2θ＝1消去参数θ.解答跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：∴x≥2或x≤－2，
∴普通方程为x2＝y＋2(x≥2或x≤－2).解答两式平方相加得(x－2)2＋y2＝9，
即普通方程为(x－2)2＋y2＝9.例2 已知圆C的方程为x2＋y2－2x＝0，根据下列条件，求圆C的参数方程.
(1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；类型二 普通方程化为参数方程解答解 过原点且倾斜角为θ的直线方程为y＝xtan θ，当x＝0时，y＝0，当x＝2cos2θ时，y＝xtan θ＝2cos θ·sin θ＝sin 2θ.(2)设x＝2m，m为参数.解答解 把x＝2m代入圆C的普通方程，得4m2＋y2－4m＝0，反思与感悟 (1)普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价.
(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x2＋y2＝16.
(1)若令y＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ(由θ的任意性可取x＝2cos θ).(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解答解 将y＝t代入普通方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是同理将x＝2t代入普通方程4x2＋y2＝16，例3 已知x，y满足圆C：x2＋(y－1)2＝1的方程，直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)求3x＋4y的最大值和最小值；类型三 参数方程与普通方程互化的应用∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.解答解答(2)若P(x，y)是圆C上的点，求P到直线l的最小距离，并求此时点P的坐标.反思与感悟 (1)参普互化有利于问题的解决，根据需要，合理选择用参数方程还是普通方程.
(2)解决与圆有关的最大值，最小值问题时，通常用圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值，最小值问题.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2－4 ρcos ＋6＝0.
(1)求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；解答解 直线l的方程为x－y＋4＝0，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋4＝0.所以ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.(2)若点P是曲线C上任意一点，P点的直角坐标为(x，y)，求x＋2y的最大值和最小值.解答达标检测1.若点P在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤ ，ρ>0，则点P的轨迹是
A.直线x＋2y＝3
B.以(3,0)为端点的射线
C.圆(x－1)2＋y2＝1
D.以(1,1)，(3,0)为端点的线段答案12345√2.将参数方程 (θ为参数)化成普通方程为
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)12345√解析 由x＝2＋sin2θ，得sin2θ＝x－2，代入y＝sin2θ，
∴y＝x－2.
又sin2θ＝x－2∈[0,1]，∴x∈[2,3].答案解析3.参数方程 (θ为参数)表示的曲线的普通方程是________
____________.12345(－1≤x≤1)y2＝x＋1答案4.将参数方程 (t为参数)化成普通方程为_______________.12345答案解析x2－y＝2(y≥2)12345答案解析圆解析 x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25，表示圆.5.参数方程 (φ为参数)表示的图形是____.1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型，研究曲线的性质.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标(x，y)和参数的关系，根据实际问题的要求，可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一问题参数的选择往往不是惟一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.规律与方法3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.规与方法本课结束