第2讲 2 圆锥曲线的参数方程
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课件42张PPT。二 圆锥曲线的参数方程第二讲 参数方程学习目标
1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 椭圆的参数方程答案 是点(rcos θ，rsin θ)绕点O逆时针旋转的旋转角.思考1 圆x2＋y2＝r2的参数方程 的参数θ的几何意义是什么？(2)φ是点M(acos φ，bsin φ)的 .梳理 (1)椭圆的参数方程离心角知识点二 双曲线的参数方程双曲线的参数方程知识点三 抛物线的参数方程1.抛物线的参数方程2.参数的几何意义(1)α表示OM的倾斜角.题型探究命题角度1 利用参数方程求最值类型一 椭圆的参数方程解答反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解.跟踪训练1 已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为 .
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；解答解 由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知，
曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；解答所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.解答得P(2cos φ，3sin φ)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ，
因为32≤32＋20sin2φ≤52，
所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52].命题角度2 利用参数方程求轨迹方程解答解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，
故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
由三角形重心的坐标公式，可得反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.解答解 由题意知B(0,9)，设A(12cos α，6sin α)，M(x，y)，例3 已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上.
(1)求双曲线的普通方程和参数方程；类型二 双曲线的参数方程解答解 设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值.解答解 因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，
设Q(sec φ，tan φ)，反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ＋cos2φ＝1?1＋tan2φ＝ ＝sec2φ?sec2φ－tan2φ＝1.跟踪训练3 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明则(|F1P|·|F2P|)2又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.例4 已知抛物线C的参数方程为 (t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_____.类型三 抛物线的参数方程答案解析解析 由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，
过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能.跟踪训练4 将方程 (t为参数)化为普通方程是______.y＝x2将tan t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程.答案解析达标检测答案1.参数方程 (φ为参数)表示
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线12345√2.曲线 (φ为参数)的焦点与原点的距离为
A.2 B.3 C.4 D.512345答案√3.曲线 (θ为参数)的对称中心
A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上12345解析 曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.答案解析√4.把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是12345答案解析√令x＝2cos θ，y＝3sin θ，12345解答设P(5cos θ，4sin θ)，则当cos θ＝－1时，|PA|最大.
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).123451.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.
2.当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程.
3.如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用.规律与方法本课结束
1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 椭圆的参数方程答案 是点(rcos θ，rsin θ)绕点O逆时针旋转的旋转角.思考1 圆x2＋y2＝r2的参数方程 的参数θ的几何意义是什么？(2)φ是点M(acos φ，bsin φ)的 .梳理 (1)椭圆的参数方程离心角知识点二 双曲线的参数方程双曲线的参数方程知识点三 抛物线的参数方程1.抛物线的参数方程2.参数的几何意义(1)α表示OM的倾斜角.题型探究命题角度1 利用参数方程求最值类型一 椭圆的参数方程解答反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解.跟踪训练1 已知曲线C1的参数方程是 (φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为 .
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；解答解 由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知，
曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；解答所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.解答得P(2cos φ，3sin φ)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ，
因为32≤32＋20sin2φ≤52，
所以|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围是[32,52].命题角度2 利用参数方程求轨迹方程解答解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，
故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
由三角形重心的坐标公式，可得反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便.解答解 由题意知B(0,9)，设A(12cos α，6sin α)，M(x，y)，例3 已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上.
(1)求双曲线的普通方程和参数方程；类型二 双曲线的参数方程解答解 设等轴双曲线C的普通方程为x2－y2＝a2(a>0)，
依题意，得2a＝2，所以a＝1，(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值.解答解 因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，
设Q(sec φ，tan φ)，反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2φ＋cos2φ＝1?1＋tan2φ＝ ＝sec2φ?sec2φ－tan2φ＝1.跟踪训练3 设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.证明则(|F1P|·|F2P|)2又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.例4 已知抛物线C的参数方程为 (t为参数).若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝_____.类型三 抛物线的参数方程答案解析解析 由题意知抛物线的普通方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，
过焦点且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能.跟踪训练4 将方程 (t为参数)化为普通方程是______.y＝x2将tan t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程.答案解析达标检测答案1.参数方程 (φ为参数)表示
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线12345√2.曲线 (φ为参数)的焦点与原点的距离为
A.2 B.3 C.4 D.512345答案√3.曲线 (θ为参数)的对称中心
A.在直线y＝2x上 B.在直线y＝－2x上
C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上12345解析 曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.答案解析√4.把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是12345答案解析√令x＝2cos θ，y＝3sin θ，12345解答设P(5cos θ，4sin θ)，则当cos θ＝－1时，|PA|最大.
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).123451.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.
2.当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程.
3.如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用.规律与方法本课结束