第2讲 3 直线的参数方程
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课件52张PPT。三 直线的参数方程第二讲 参数方程学习目标
1.理解并掌握直线的参数方程.
2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 直线的参数方程答案 y－y0＝tan α(x－x0).思考1 如图，直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α ，那么直线的点斜式方程是什么？思考2 在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？梳理 (1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)；
②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sin α>0.
(2)直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离.
①当 与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 ；
②当 与e反向时，t取 ，当M与M0重合时，t＝ .
(3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝ .正数负数0题型探究|t|表示t对应的点M(x，y)到M0的距离.例1 (1)化直线l1的普通方程x＋ y－1＝0为参数方程，并说明|t|的几何意义；类型一 直线的参数方程与普通方程的互化解答解 直线l1与x轴交于点M0(1,0)，解答①代入②消去参数t，又∵①②两式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，反思与感悟 (1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为 (t为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地，当α＝ 时，直线的参数方程为
(t为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为 的直线的参数方程是 (a，b为常数，t为参数).(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；解答(2)求直线l的倾斜角；解答(3)求直线l上的点M(－3 ，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.解答解 由(2)可知直线l的单位向量命题角度1 求弦长|AB|问题
例2 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点.
(1)求|AB|；类型二 直线参数方程的应用解答解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，设A，B对应的参数值为t1，t2，(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.解答解答跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝ ，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；设A，B对应的参数分别为t1，t2，(2)求A，B两点坐标.解答命题角度2 求积|M0A|·|M0B|问题
例3 过点P 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.解答代入曲线x2＋12y2＝1，反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便.跟踪训练3 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝ ，
(1)写出直线l的参数方程；解答解答(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.解 因为点A，B都在直线l上，
所以可设它们对应的参数为t1和t2，把直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.类型三 直线参数方程的综合应用解答(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；所以曲线C1表示一条直线.得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C2表示以(－2,1)为圆心，1为半径的圆.(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.解答代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数分别为t1，t2，引申探究
1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB|的值.解答曲线C2是圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
因为点P(－4,0)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1，t2同号，解答|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标.
(2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决.跟踪训练4 已知直线l： (t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；解 曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.解答(2)设点M的直角坐标为(5， )，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值；解答设这个方程的两个实根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.解 由(2)知t1，t2为同号，解答达标检测12345√答案解析解析 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，
故不能直接由1－0＝1来得距离，
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，2.直线 (t为参数，α＝ )不经过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限12345答案√12345答案解析－14.设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为 ，则直线l的参数方程为
_________________________.12345答案解析12345解答5.一直线过点P0(3,4)，倾斜角α＝ ，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离.将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数).其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段 的数量，可以为正、为负，也可以为零.
2.直线l： (t为参数)与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参数为t1，t2.则|AB|＝|t1－t2|.但|M0A|＋|M0B|与|AB|不完全相同，当t1与t2异号时，|M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2|；当t1与t2同号时，|M0A|＋|M0B|＝|t1＋t2|≠|AB|.规律与方法3.要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数t就不具有相应的几何意义.
1.理解并掌握直线的参数方程.
2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 直线的参数方程答案 y－y0＝tan α(x－x0).思考1 如图，直线l过定点M0(x0，y0)且倾斜角为α ，那么直线的点斜式方程是什么？思考2 在思考1中，若令x－x0＝tcos α(t为参数)，那么直线l的参数方程是什么？梳理 (1)直线的参数方程
①过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数)；
②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sin α>0.
(2)直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示t对应的点M到M0的距离.
①当 与e(直线的单位方向向量)同向时，t取 ；
②当 与e反向时，t取 ，当M与M0重合时，t＝ .
(3)重要公式：设A，B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA，tB，则|AB|＝|tB－tA|＝ .正数负数0题型探究|t|表示t对应的点M(x，y)到M0的距离.例1 (1)化直线l1的普通方程x＋ y－1＝0为参数方程，并说明|t|的几何意义；类型一 直线的参数方程与普通方程的互化解答解 直线l1与x轴交于点M0(1,0)，解答①代入②消去参数t，又∵①②两式平方相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，反思与感悟 (1)一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α<π)惟一确定，直线上动点M(x，y)的参数方程为 (t为参数)，这是直线参数方程的标准形式，特别地，当α＝ 时，直线的参数方程为
(t为参数).
(2)直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为 的直线的参数方程是 (a，b为常数，t为参数).(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；解答(2)求直线l的倾斜角；解答(3)求直线l上的点M(－3 ，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.解答解 由(2)可知直线l的单位向量命题角度1 求弦长|AB|问题
例2 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点.
(1)求|AB|；类型二 直线参数方程的应用解答解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，设A，B对应的参数值为t1，t2，(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.解答解答跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝ ，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；设A，B对应的参数分别为t1，t2，(2)求A，B两点坐标.解答命题角度2 求积|M0A|·|M0B|问题
例3 过点P 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|的最小值及相应的α值.解答代入曲线x2＋12y2＝1，反思与感悟 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，当求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时，根据直线参数方程中参数的几何意义解题更为方便.跟踪训练3 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝ ，
(1)写出直线l的参数方程；解答解答(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积.解 因为点A，B都在直线l上，
所以可设它们对应的参数为t1和t2，把直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.类型三 直线参数方程的综合应用解答(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；所以曲线C1表示一条直线.得(x＋2)2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C2表示以(－2,1)为圆心，1为半径的圆.(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.解答代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数分别为t1，t2，引申探究
1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB|的值.解答曲线C2是圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1.
因为点P(－4,0)在圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1外，代入曲线C2：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1，t2同号，解答|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标.
(2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的几何意义加以解决.跟踪训练4 已知直线l： (t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；解 曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.解答(2)设点M的直角坐标为(5， )，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值；解答设这个方程的两个实根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.解 由(2)知t1，t2为同号，解答达标检测12345√答案解析解析 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，
故不能直接由1－0＝1来得距离，
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，2.直线 (t为参数，α＝ )不经过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限12345答案√12345答案解析－14.设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为 ，则直线l的参数方程为
_________________________.12345答案解析12345解答5.一直线过点P0(3,4)，倾斜角α＝ ，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离.将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 (t为参数).其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段 的数量，可以为正、为负，也可以为零.
2.直线l： (t为参数)与二次曲线C交于两点A，B，A，B对应的参数为t1，t2.则|AB|＝|t1－t2|.但|M0A|＋|M0B|与|AB|不完全相同，当t1与t2异号时，|M0A|＋|M0B|＝|AB|＝|t1－t2|；当t1与t2同号时，|M0A|＋|M0B|＝|t1＋t2|≠|AB|.规律与方法3.要注意区别直线参数方程是否为标准形式，若不是标准形式，则参数t就不具有相应的几何意义.