第2讲 4 渐开线与摆线

课件28张PPT。四　渐开线与摆线第二讲　参数方程学习目标
1.了解圆的渐开线的参数方程.
2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.
3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　渐开线答案　根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.思考　把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状.若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数.设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然，点M由角φ惟一确定.梳理　圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 叫做渐开线的基圆.
(2)参数方程
设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是_______________________________.定圆知识点二　摆线答案　摆线.思考　当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？梳理　摆线及其参数方程
(1)定义
当一个圆沿着一条定直线 滚动时，圆周上的 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做 .
(2)参数方程
设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是
__________________________无滑动地一个定点旋轮线题型探究例1　求半径为4的圆的渐开线的参数方程.类型一　圆的渐开线解答设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，则|AM|＝ ＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).反思与感悟　圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.跟踪训练1　已知圆的渐开线方程为 (φ为参数)，则该基圆半径为___，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角坐标为________.答案解析类型二　平摆线答案解析圆的方程为x2＋y2＝9，
∴圆的圆心为(0,0)，半径r＝3，反思与感悟　(1)摆线的参数方程
摆线的参数方程为 (φ为参数)，其中r：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.跟踪训练2　已知一个圆的摆线的参数方程是 (φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是___；一个拱的跨度为____.66π解析　当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高；
当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.答案解析达标检测答案1.圆 (θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是
A.π B.3π
C.6π D.10π1234√2.当φ＝2π时，圆的渐开线 (φ为参数)上的点是
A.(6,0) B.(6,6π)
C.(6，－12π) D.(－π，12π)答案1234√答案解析3.如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是
A.3π B.4π
C.5π D.6π1234√所以曲线AEFGH的长是5π.12344.已知一个圆的摆线方程是 (φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.1234解答解　首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程.
3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.规律与方法本课结束