第2讲 参数方程复习课
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课件42张PPT。第二讲 参数方程复习课学习目标
1.梳理知识要点，构建知识网络.
2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.
3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为
__________________________.
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为______________________；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________.(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为______________________.
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为______________________.(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_______________________
或____________________.题型探究即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.类型一 参数方程化为普通方程例1 把下列参数方程化为普通方程：解答解 关于cos θ，sin θ的方程组解答反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.跟踪训练1 判断方程 (θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状.解答类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.解答代入方程y2＝4x整理，得t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式.
(2)要注意直线倾斜角的取值范围.
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长.跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为 (t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；解答解 将直线l的参数方程代入圆的方程，设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，(2)过P0作圆的切线，求切线长.解答解 设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin ＝2 .
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；解答可得(x－2)2＋y2＝1，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值.解答解 方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解答(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；解答(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.类型三 极坐标与参数方程解答例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.解答解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点.
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；解答在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.解答(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积.易得A(4,0)，B(2,3)，达标检测1.曲线 (θ为参数)的焦点坐标为
A.(±3,0) B.(0，±3)
C.(±6,0) D.(0，±6)解析答案12345√这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6).√答案123453.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的极坐标方程为
ρ＝2 sin θ，则直线l与圆C的位置关系为
A.相离 B.相切
C.相交 D.由参数确定答案√123454.点P(1,0)到曲线 (t为参数)上的点的最短距离为___.解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.解析答案1123455.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆 ＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值.解答12345规律与方法1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.
2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围.本课结束
1.梳理知识要点，构建知识网络.
2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.
3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.参数方程的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程
(1)直线
过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为
__________________________.
(2)圆
①圆x2＋y2＝r2的参数方程为______________________；
②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________.(3)椭圆
中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为______________________.
(4)双曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为______________________.(5)抛物线
抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_______________________
或____________________.题型探究即5x2＋4xy＋17y2－81＝0.类型一 参数方程化为普通方程例1 把下列参数方程化为普通方程：解答解 关于cos θ，sin θ的方程组解答反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项
(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.
(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.跟踪训练1 判断方程 (θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状.解答类型二 参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用
例2 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长.解答代入方程y2＝4x整理，得t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0. ①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，
由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题
(1)直线的参数方程应为标准形式.
(2)要注意直线倾斜角的取值范围.
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长.跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为 (t为参数)，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；解答解 将直线l的参数方程代入圆的方程，设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系，(2)过P0作圆的切线，求切线长.解答解 设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用
例3 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin ＝2 .
(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；解答可得(x－2)2＋y2＝1，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，
即x＋y＝4.(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值.解答解 方法一 设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，所以Q(3,5)，
由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，
|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.
仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.
(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解答(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；解答(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.类型三 极坐标与参数方程解答例4 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；解 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.解答解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.得t2＋(12cos α)t＋11＝0，
设A，B对应的参数为t1，t2，
所以t1＋t2＝－12cos α，t1t2＝11.反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点.
(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；解答在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，
得3x＋2y－12＝0，
所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.解答(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积.易得A(4,0)，B(2,3)，达标检测1.曲线 (θ为参数)的焦点坐标为
A.(±3,0) B.(0，±3)
C.(±6,0) D.(0，±6)解析答案12345√这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，
所以焦点坐标为(0，±6).√答案123453.已知直线l的参数方程为 (t为参数)，圆C的极坐标方程为
ρ＝2 sin θ，则直线l与圆C的位置关系为
A.相离 B.相切
C.相交 D.由参数确定答案√123454.点P(1,0)到曲线 (t为参数)上的点的最短距离为___.解析 设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.解析答案1123455.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆 ＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值.解答12345规律与方法1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.
2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围.本课结束