第1讲 2 第1课时 绝对值三角不等式

课件30张PPT。第1课时　绝对值三角不等式第一讲　二　绝对值不等式学习目标
1.进一步理解绝对值的意义.
2.理解并掌握绝对值三角不等式(定理1)及其几何解释，理解多个实数的绝对值不等式(定理2).
3.会用定理1、定理2解决简单的绝对值不等式问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点　绝对值三角不等式思考1　实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？答案　|a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离.思考2　代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？答案　表示数轴上的点x到点－2,3的距离之和.梳理　(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立.
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为_________________
_____；
②若a，b共线，当a与b 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b 时，|a＋b|＜|a|＋|b|；
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式.
③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.ab≥0两边之和大于第三边反向同向(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当 时，等号成立.
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：
①点B在A或C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.(a－b)(b－c)≥0＝＝＜题型探究类型一　含绝对值不等式的证明例1　设函数f(x)＝x2－2x，实数a满足|x－a|＜1.
求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明　∵f(x)＝x2－2x，且|x－a|＜1，
∴|f(x)－f(a)|＝|x2－2x－a2＋2a|
＝|(x＋a)(x－a)－2(x－a)|
＝|(x－a)(x＋a－2)|＝|x－a|·|x＋a－2|
＜|x＋a－2|＝|(x－a)＋(2a－2)|
≤|x－a|＋|2a－2|＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3，
∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.证明反思与感悟　两类含绝对值不等式的证明技巧
一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明.
另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.证明　∵|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|
≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|，∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.证明类型二　利用绝对值三角不等式求最值例2　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；解　方法一　||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.
方法二　把函数看作分段函数，∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.解答(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围.解　只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，
则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，
而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，
当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立.
∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.
∴a的取值范围为(－∞，1].解答反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式.
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；解　∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.解答(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.解　∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴|x－3|＋|x＋1|≥4.
∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R.
又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，
∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞).解答类型三　绝对值三角不等式的综合应用(1)证明：f(x)≥2；证明(2)若f(3)＜5，求a的取值范围.解答反思与感悟　含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件.跟踪训练3　设f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7.证明　因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，
所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1，
又f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，
所以|f(2)|＝|4a＋2b＋c|
＝|3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－3c|
＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|
≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3＋1＋3＝7，
所以|f(2)|≤7.证明达标检测1234解析　|4x＋2y－4m－2n|＝|4(x－m)＋2(y－n)|解析答案5√2.已知a为实数，则“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析　由|a|≥1得a≤－1或a≥1.
因为关于x的不等式|x|＋|x－1|≤a有解，而|x|＋|x－1|≥|x＋1－x|＝1，
所以a≥1.
故“|a|≥1”是“关于x的绝对值不等式|x|＋|x－1|≤a有解”的必要不充分条件.解析答案√1234512345答案√∴m≤n.解析123454.已知关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是________.解析　∵|x－1|＋|x＋a|≥|x－1－(x＋a)|＝|a＋1|，
且关于x的不等式|x－1|＋|x＋a|≤8的解集不是空集，
∴|a＋1|≤8，解得－9≤a≤7，即a的最小值是－9.解析答案－9123455.下列四个不等式：①|logx10＋lg x|≥2；②|a－b|＜|a|＋|b|；③
≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________.(把你认为正确的序号都填上)①③④解析答案当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④正确.123451.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，当ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的.
2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有
(1)借助绝对值的定义，即零点分段.
(2)利用绝对值的几何意义.
(3)利用绝对值不等式的性质定理.规律与方法本课结束