第1讲 2 第2课时 绝对值不等式的解法

课件47张PPT。第2课时　绝对值不等式的解法第一讲　二　绝对值不等式学习目标
1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1　|x|≥2说明实数x有什么特征？答案　x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.
∴x≥2或x≤－2.思考2　若|2x－3|≤5，求x的取值范围.答案　{x|－1≤x≤4}.梳理　(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a?－a＜x＜a(a＞0)，
(a≤0).②|x|＞a? (a＜0)，
(a＝0)，
(a＞0).x＞a或x＜－a?Rx∈R且x≠0(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c? ，
②|ax＋b|≥c? .－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c知识点二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考　如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案　采用零点分段法.即令|x－a|＋|x－b|＝0，得
x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)梳理　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.
(2)以绝对值的“ ”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键.
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键.
特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法.几何意义零点题型探究类型一　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c(c＞0)型的不等式的解法例1　解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；解答(2)2≤|x－2|≤4.由①得x－2≤－2或x－2≥2，∴x≤0或x≥4，
由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.
∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}.解答反思与感悟　|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法
(1)当c＞0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
(2)当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为?.
(3)当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.跟踪训练1　解关于x的不等式：
||x－1|－4|＜2.解　||x－1|－4|＜2?－2＜|x－1|－4＜2?2＜|x－1|＜6∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}.解答类型二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法例2　解关于x的不等式：|3x－2|＋|x－1|＞3.解答解　方法一　分类(零点分段)讨论法代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，③因为当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，方法二　构造函数f(x)＝|3x－2|＋|x－1|－3，
则原不等式的解集为{x|f(x)＞0}.作出函数f(x)的图象，如图.反思与感悟　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况.跟踪训练2　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.解答解　方法一　|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.
由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1].方法二　令x＋7＝0，得x＝－7，令x－2＝0，得x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1].
方法三　将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，作出函数的图象，由图象可知，
当x≤－1时，y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为(－∞，－1].类型三　含绝对值不等式的恒成立问题例3　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≤6的解集；解答解　∵当a＝－3时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，
∴f(x)≤6，等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，
令g(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，作y＝g(x)的图象，如图，∴f(x)≤6的解集为[－1,2].(2)若关于x的不等式f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解　∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥|(2x＋1)－(2x＋a)|＝|a－1|，
∴f(x)min＝|a－1|.
要使f(x)＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可.
由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，解答引申探究
若f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|且f(x)＜a恒成立，求a的取值范围.解　∵f(x)＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|(2x＋1)－(2x＋a)|
＝|a－1|，∴f(x)max＝|a－1|.
∵f(x)＜a恒成立，∴|a－1|＜a，∴－a＜a－1＜a，解答反思与感悟　不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题.f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.跟踪训练3　已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围.
(1)若不等式有解；解答解　方法一　因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差，
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
则(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为(－∞，1).
方法二　由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式的解集为R；解　方法一　若不等式的解集为R，
即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，
即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1).
方法二　若不等式的解集为R，
则m∈(－∞，－1).解答(3)若不等式的解集为?.解　方法一　若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞).
方法二　若不等式的解集为?，则m∈[1，＋∞).解答达标检测1.不等式|x＋1|＞3的解集是
A.{x|x＜－4或x＞2} B.{x|－4＜x＜2}
C.{x|x＜－4或x≥2} D.{x|－4≤x＜2}1234解析　|x＋1|＞3，则x＋1＜－3或x＋1＞3，
因此x＜－4或x＞2.解析答案5√12345答案√解析123453.不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是
A.(－3,2) B.(－1,3)
C.(－4,1) 解析　|x＋1|＋|x＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，
根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.
因此|x＋1|＋|x＋2|＜5解集是(－4,1).解析答案√123454.已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是
A.m＞1 B.m≥1
C.m＞2 D.m≥2解析　∵|x－5|＋|x－3|≥|(x－5)－(x－3)|＝2，
∴m＞2.解析答案√123455.解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解答|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x－(3x＋2)≥8|2x－1|＋|3x＋2|≥8?1－2x＋3x＋2≥8?x≥5，
∴x∈?.12345|2x－1|＋|3x＋2|≥8?5x＋1≥8123451.解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c
(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.
(2)当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R.2.解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即
(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.本课结束