第1讲 不等式和绝对值不等式复习课

课件39张PPT。复习课第一讲　不等式和绝对值不等式学习目标
1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.
2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.
3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.
4.会解绝对值不等式.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可.
2.不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b? .
(2)传递性：a＞b，b＞c? .
(3)可加性： ?a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ；
如果a＞b，c＜0，那么 .
(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an bn(n∈N，n≥2).b＜aa＞cac＞bcac＜bc＞＞a＞b3.基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).
(2)定理2：如果a，b＞0，那么 (当且仅当a＝b时，等号成立).
(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立).(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求.
4.绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式.去绝对值符号常见的方法
(1)根据绝对值的定义.
(2)分区间讨论(零点分段法).
(3)图象法.5.绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离.
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立).
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立).
(4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0).
(5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).题型探究类型一　不等式的基本性质的应用例1　“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件解析　易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.
若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.解析答案√反思与感悟　利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想.跟踪训练1　如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是
A.a2＞a＞－a2＞－a B.－a＞a2＞－a2＞a
C.－a＞a2＞a＞－a2 D.a2＞－a＞a＞－a2解析　由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.解析答案√类型二　基本不等式及其应用命题角度1　用基本不等式证明不等式证明证明　∵a＞b＞c＞d，
∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，反思与感悟　不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式.跟踪训练2　设a，b，c均为正数，
证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.证明　(ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)
＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)∴所证不等式成立.证明命题角度2　求最大、最小值3当且仅当x＝3z时取“＝”.解析答案反思与感悟　利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”.解析答案√类型三　含绝对值的不等式的解法例4　解下列关于x的不等式.
(1)|x＋1|＞|x－3|；解答解　方法一　|x＋1|＞|x－3|，
两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}.
方法二　分段讨论：
当x≤－1时，有－x－1＞－x＋3，此时x∈?；
当－1＜x≤3时，有x＋1＞－x＋3，
即x＞1，∴此时1＜x≤3；
当x＞3时，有x＋1＞x－3，∴x＞3.
∴原不等式的解集为{x|x＞1}.(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.解答③当x＞2时，原不等式变形为x－2－2x－5＞2x，反思与感悟　含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法通常称为零点分段法.跟踪训练4　已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.解答(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.解　记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，解答类型四　恒成立问题例5　设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；解　当a＝1时，
f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，
∴f(x)min＝4.解答当a＜0时，上式成立；综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}.解答反思与感悟　不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题.当然，根据题目特点，还可能用①变更主次元；②数形结合等方法.跟踪训练5　已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}.
(1)求a的值；解　由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2，
∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
∴当a≤0时，不合题意.∴a＝2.解答∴|h(x)|≤1，∴k≥1，即k的取值范围是[1，＋∞).解答达标检测1.给出下列四个命题：
①若a＞b，c＞1，则alg c＞blg c；②若a＞b，c＞0，则alg c＞blg c；
③若a＞b，则a·2c＞b·2c；④若a＜b＜0，c＞0，则
其中正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.41234解析　①正确，c＞1，lg c＞0；
②不正确，当0＜c≤1时，lg c≤0；
③正确，2c＞0；解析答案√2.设6＜a＜10， ≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是
A.9＜c＜30 B.0≤c≤18
C.0≤c≤30 D.15＜c＜30解析答案√1234即9＜c＜30.1234答案解析3.不等式4＜|3x－2|＜8的解集为______________________________.12344.解不等式3≤|x－2|＜4.解答由①得x－2≤－3或x－2≥3，∴x≤－1或x≥5.
由②得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.
方法二　3≤|x－2|＜4?3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3?5≤x＜6或－2＜x≤－1.
∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}.1.本讲的重点是均值不等式和绝对值不等式，要特别注意含绝对值不等式的解法.
2.重点题型有利用不等式的基本性质、均值不等式、绝对值三角不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式.
3.重点考查利用不等式性质，均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题.本课结束