第2讲 讲明不等式的基本方法的比较法

课件35张PPT。一　比较法第二讲　证明不等式的基本方法学习目标
1.理解比较法证明不等式的理论依据.
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.
3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一　作差比较法思考　比差法的理论依据是什么？答案　a＞b?a－b＞0；a＝b?a－b＝0；a＜b?a－b＜0.梳理　作差比较法
(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0?a＞b；a－b＜0? ；a－b＝0?a＝b.
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；
④得出结论.
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定_____
________，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等.a＜b与0的大小关系知识点一　作差比较法思考2　类比作差比较法，请谈谈作商比较法.(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a，b符号；②作商；③变形整理；④判定与 ；⑤得出结论.1的大小关系题型探究类型一　作差比较法证明不等式例1　已知正数a，b，c成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明　因为正数a，b，c成等比数列，又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2
＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc
＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明反思与感悟　作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小.证明类型二　作商比较法证明不等式例2　已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥ .证明当a＝b时，显然有 ＝1；所以由指数函数的单调性可知， ＞1；所以由指数函数的单调性可知， ＞1.综上可知，对任意实数a，b，都有aabb≥ .引申探究1.若a＞0，b＞0，求证： ≥abba.证明证明　因为abba＞0， ＞0，所以当a＝b时，显然有 由指数函数的单调性，由指数函数的单调性，综上可知，对任意a＞0，b＞0，都有abba≤ .2.当a＞0，b＞0时，比较aabb与abba的大小.解　由例2和探究1知，aabb≥ ≥abba.解答反思与感悟　作商比较法证明不等式的一般步骤
(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商.
(2)变形：化简商式到最简形式.
(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1.
(4)得出结论.又∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b＞0时取等号，证明类型三　比较法的应用∵a，b，m都是正数，且a＜b，
∴b－a＞0，b(b＋m)＞0，证明反思与感悟　比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛.跟踪训练3　甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解答解　设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有其中s，m，n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2.从而知甲比乙先到达指定地点.达标检测1.已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1).其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.31234解析　①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正确；
②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正确；
③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正确.解析答案5√2. ＜1成立的充要条件是
A.a＞1 B.a＜0
C.a≠0 D.a＞1或a＜0答案√12345解析3.若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则
A.w＞u B.w＜u
C.w≥u D.无法确定12345答案√∴w≥u.解析12345答案√解析　∵a，b都是正数，
∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2≤0，∴P≤Q.解析∴原不等式成立.方法二　∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0.
∴左边＞0，右边＞0.12345证明1.作差比较法证明不等式的技巧
(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号.规律与方法2.适用作商比较法证明的不等式的特点
适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较.本课结束