第2讲 不等式的基本方法- 反证法与放缩法
文档属性
| 名称 | 第2讲 不等式的基本方法- 反证法与放缩法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-05 16:16:13 | ||
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文档简介
课件35张PPT。三 反证法与放缩法第二讲 证明不等式的基本方法学习目标
1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.
2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 反证法思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．
(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理 反证法
(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．正确的推理假设假设不成立知识点二 放缩法思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案 ①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理 放缩法
(1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．
(2)放缩法的理论依据
①不等式的传递性．
②等量加(减)不等量为 ．
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量题型探究类型一 反证法证明不等式命题角度1 证明“否定性”结论即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．证明(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明 假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1 设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，
求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明证明 假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1，
即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，
则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1. ①
∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，
∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．
∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.命题角度2 证明“至少”“至多”型问题例2 已知f(x)＝x2＋px＋q，
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明 f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，证明反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．证明证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x，y，z不全为零，求证：证明由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．证明证明 ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且k≥2)，分别令k＝2,3，…，n，得将这些不等式相加，得达标检测1.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是1234解析 对于A，x的正、负不定；
对于B，m的正、负不定；
对于C，x的正、负不定；
对于D，由绝对值三角不等式知，D正确．解析答案√2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为
A.a，b，c全不为0
B.a，b，c至少有一个为0
C.a，b，c至少有一个不为0
D.a，b，c至多有一个不为0答案√12341234a≥0，b≥0，a≠b∴a≠b，
∴a≥0，b≥0，a≠b.解析答案1234证明因为a，b，c均为小于3的正数，1234显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证.12341.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设规律与方法2.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项.
(2)在分式中增大或减小分子或分母.(4)利用函数的单调性等.本课结束
1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.
2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 反证法思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．
(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾．梳理 反证法
(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．正确的推理假设假设不成立知识点二 放缩法思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？答案 ①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．梳理 放缩法
(1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．
(2)放缩法的理论依据
①不等式的传递性．
②等量加(减)不等量为 ．
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量题型探究类型一 反证法证明不等式命题角度1 证明“否定性”结论即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．证明(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明 假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．跟踪训练1 设0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，
求证：(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.证明证明 假设(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b都大于1，
即(2－a)·c＞1，(2－b)·a＞1，(2－c)·b＞1，
则(2－a)·c·(2－b)·a·(2－c)·b＞1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc＞1. ①
∵0＜a＜2,0＜b＜2,0＜c＜2，同理(2－b)·b≤1，(2－c)·c≤1，
∴(2－a)·a·(2－b)·b·(2－c)·c≤1，
∴(2－a)(2－b)(2－c)·abc≤1，这与①式矛盾．
∴(2－a)·c，(2－b)·a，(2－c)·b不可能都大于1.命题角度2 证明“至少”“至多”型问题例2 已知f(x)＝x2＋px＋q，
求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明 f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.证明则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2，
而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，矛盾，证明反思与感悟 (1)当欲证明的结论中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．证明证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立．
∴a，b，c中至少有一个大于0.类型二 放缩法证明不等式例3 已知实数x，y，z不全为零，求证：证明由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加，得反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．证明证明 ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)(k∈N＋且k≥2)，分别令k＝2,3，…，n，得将这些不等式相加，得达标检测1.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是1234解析 对于A，x的正、负不定；
对于B，m的正、负不定；
对于C，x的正、负不定；
对于D，由绝对值三角不等式知，D正确．解析答案√2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为
A.a，b，c全不为0
B.a，b，c至少有一个为0
C.a，b，c至少有一个不为0
D.a，b，c至多有一个不为0答案√12341234a≥0，b≥0，a≠b∴a≠b，
∴a≥0，b≥0，a≠b.解析答案1234证明因为a，b，c均为小于3的正数，1234显然②与①相矛盾，假设不成立，故命题得证.12341.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设规律与方法2.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项.
(2)在分式中增大或减小分子或分母.(4)利用函数的单调性等.本课结束