第2讲 讲明不等式的基本方法复习课

课件38张PPT。复习课第二讲　证明不等式的基本方法学习目标
1.系统梳理证明不等式的基本方法.
2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.
3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.比较法
作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件.证明的步骤大致是：作差——恒等变形——判断结果的符号.
2.综合法
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论.证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握.3.分析法
分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.4.反证法
反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：
①直接证明困难；②需要分成很多类进行讨论；③“唯一性”“存在性”的命题；④结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题.
5.放缩法
放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③用基本不等式放缩.题型探究类型一　比较法证明不等式证明反思与感悟　作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.证明类型二　综合法与分析法证明不等式证明因此只需证(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
根据条件，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca，证明∵ab＋bc＋ca＝1，∴原不等式成立.反思与感悟　证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁.证明∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，方法二　∵a＞b＞c，
∴a－c＞a－b＞0，b－c＞0，类型三　反证法证明不等式因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.证明反思与感悟　反证法的“三步曲”：(1)否定结论.(2)推出矛盾.(3)肯定结论.其核心是在否定结论的前提下推出矛盾.跟踪训练3　已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求证：a＜b.证明　假设a＜b不成立，则a＝b或a＞b.
当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，
于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾.
当a＞b时，－a＜－b，由函数y＝f(x)的单调性，
可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)，
于是有f(a)＋f(－b)＞f(b)＋f(－a)与已知矛盾.故假设不成立.
∴a＜b.证明类型四　放缩法证明不等式证明证明　∵对k∈N＋，1≤k≤n，有又∵对于k∈N＋，2≤k≤n，有∴原不等式成立.反思与感悟　放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法.
放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的.跟踪训练4　设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，
求证：|f(a)－f(b)|≤|a－b|.证明　|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|
＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|，
∵0≤a≤1,0≤b≤1，∴0≤a＋b≤2，
－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.
∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.证明达标检测1.已知p: ab＞0，q： 则p与q的关系是
A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件
C.p是q的充要条件 `D.以上答案都不对1234答案√∴ab＞0.解析2.实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则
A.a，b，c都是正数
B.a，b，c都大于1
C.a，b，c都小于2
D.a，b，c中至少有一个不小于解析答案√1234则a＋2b＋c<2与a＋2b＋c＝2矛盾.1234解析答案√∵9＞8，∴b＞a.∵35＞53，∴b＞c.∴b＞a＞c，
故选C.123412344.已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).证明1234证明　∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an).
(1)若a＞b＞0，则bn－an＜0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.
(2)若b＞a＞0，则bn－an＞0，a－b＜0，
∴(a－b)(bn－an)＜0.1234(3)若a＝b＞0，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有
(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).1.比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号.
2.由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法.
3.证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养.规律与方法本课结束