第3讲 1 二维形式的柯西不等式
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课件28张PPT。一 二维形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.
2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 二维形式的柯西不等式思考1 (a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2 当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案 当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3 若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理 (1)二维形式的柯西不等式
①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
②二维形式的柯西不等式的推论：(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd|(2)柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.|α·β|≤|α|·|β|②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明 ∵a1，a2，b1，b2∈R＋，证明反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.跟踪训练1 已知θ为锐角，a，b∈R＋，证明例2 若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：|x＋2y＋z|≤3.证明 因为x2＋4y2＋z2＝3，
所以由柯西不等式得
[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.证明反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.
(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.将上面三个同向不等式相加，证明类型二 利用柯西不等式求最值例3 若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟 利用柯西不等式求最值
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.跟踪训练3 已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解 由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，
∵9a2＋4b2＝18，
∴36≥(3a＋2b)2.
∴|3a＋2b|≤6.解答达标检测1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为
A.4 B.2
C.8 D.91234解析 (a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.所以3a＋2b的最大值为解析答案5√2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则
A.ab≤ B.ab≥
C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3答案√12345解析 ∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.解析123459∴最小值为9.解析答案12345解析 ∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，
∴m2＋n2≥5.
当且仅当an＝bm时取等号.解析答案证明 ∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ)≥(acos θ＋bsin θ)2，
∴|acos θ＋bsin θ|≤1.12345证明5.已知a2＋b2＝1，求证：|acos θ＋bsin θ|≤1.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆.本课结束
1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.
2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 二维形式的柯西不等式思考1 (a2＋b2)(c2＋d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小关系又如何？答案 (a2＋b2)(c2＋d2)≥4abcd，
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.思考2 当且仅当a＝b且c＝d时，(a2＋b2)(c2＋d2)＝4abcd，那么在什么条件下(a2＋b2)(c2＋d2)＝(ac＋bd)2?答案 当且仅当ad＝bc时，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝(ac＋bd)2.思考3 若向量α＝(a，b)，向量β＝(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？梳理 (1)二维形式的柯西不等式
①定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ ，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
②二维形式的柯西不等式的推论：(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd|(2)柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
(3)二维形式的三角不等式零向量当且仅当三点P1，P2与原点O在同一直线上，并且P1，P2点在原点O两旁时，等号成立.|α·β|≤|α|·|β|②推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3在同一直线上，并且点P1，P2在P3点的两旁时，等号成立.题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式证明 ∵a1，a2，b1，b2∈R＋，证明反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法.跟踪训练1 已知θ为锐角，a，b∈R＋，证明例2 若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝3，求证：|x＋2y＋z|≤3.证明 因为x2＋4y2＋z2＝3，
所以由柯西不等式得
[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.证明反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件.
(2)此类题也可以用三角不等式，把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(－y1，－y2)即可.将上面三个同向不等式相加，证明类型二 利用柯西不等式求最值例3 若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，解答反思与感悟 利用柯西不等式求最值
(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.跟踪训练3 已知a，b∈R，且9a2＋4b2＝18，求3a＋2b的最值.解 由柯西不等式，得(9a2＋4b2)(12＋12)≥(3a＋2b)2，
∵9a2＋4b2＝18，
∴36≥(3a＋2b)2.
∴|3a＋2b|≤6.解答达标检测1.已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为
A.4 B.2
C.8 D.91234解析 (a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，当且仅当3b＝2a时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.所以3a＋2b的最大值为解析答案5√2.已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则
A.ab≤ B.ab≥
C.a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3答案√12345解析 ∵(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2＝4，
∴a2＋b2≥2.解析123459∴最小值为9.解析答案12345解析 ∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2＝25，
∴m2＋n2≥5.
当且仅当an＝bm时取等号.解析答案证明 ∵1＝a2＋b2＝(a2＋b2)·(cos2θ＋sin2θ)≥(acos θ＋bsin θ)2，
∴|acos θ＋bsin θ|≤1.12345证明5.已知a2＋b2＝1，求证：|acos θ＋bsin θ|≤1.1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试.
2.柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2等号成立的条件是ad＝bc，可以把a，b，c，d看成等比，则ad＝bc来联想记忆.本课结束