第3讲 2 一般形式的柯西不等式
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课件30张PPT。二 一般形式的柯西不等式第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标
1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.
2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.
3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三维形式的柯西不等式思考1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，∵|α||β|≥|α·β|，思考2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立.梳理 三维形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0知识点二 一般形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)22.柯西不等式等号成立的条件
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得 (i＝1,2，…，n)时等号成立.ai＝kbi题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用例1 设a，b，c为正数，且不全相等.证明由柯西不等式知，因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.证明 由柯西不等式知，＝(1＋1＋1)2＝9，
∴原不等式成立.证明命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用证明 由柯西不等式，得证明反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式.证明＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，类型二 利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________.解析 ∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，解析答案解析答案反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.
又a＞0，b＞0，
所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c，
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.解答解 由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得＝(a＋b＋c)2＝16，解答达标检测1234答案解析＝8(x＋y＋z)＝16√1234答案√解析∴a＋2b＋3c的最小值为9.＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，
当且仅当a＝b＝c＝d时取等号.123416解析答案1234证明2.要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧.对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.本课结束
1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.
2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.
3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 三维形式的柯西不等式思考1 类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，∵|α||β|≥|α·β|，思考2 三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案 当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立.梳理 三维形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0知识点二 一般形式的柯西不等式(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)22.柯西不等式等号成立的条件
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得 (i＝1,2，…，n)时等号成立.ai＝kbi题型探究类型一 利用柯西不等式证明不等式命题角度1 三维形式的柯西不等式的应用例1 设a，b，c为正数，且不全相等.证明由柯西不等式知，因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：
(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数.
(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序.
(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的.
(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项.证明 由柯西不等式知，＝(1＋1＋1)2＝9，
∴原不等式成立.证明命题角度2 一般形式的柯西不等式的应用证明 由柯西不等式，得证明反思与感悟 一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式.证明＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，类型二 利用柯西不等式求函数的最值例3 (1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________.解析 ∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，解析答案解析答案反思与感悟 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件.跟踪训练3 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；解 因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.
又a＞0，b＞0，
所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c，
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.解答解 由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得＝(a＋b＋c)2＝16，解答达标检测1234答案解析＝8(x＋y＋z)＝16√1234答案√解析∴a＋2b＋3c的最小值为9.＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，
当且仅当a＝b＝c＝d时取等号.123416解析答案1234证明2.要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧.对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.本课结束